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Perfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Numeri perfetti dispari

Si chiamano “perfetti” i numeri naturali uguali alla somma dei propri divisori, includendo 1, ma escludendo il numero stesso, vale a dire i numeri per i quali σ(n) = 2n.

 

Euclide aveva dimostrato che se 2p – 1 è primo (oggi diremmo che è un primo di Mersenne), 2p – 1(2p – 1) è perfetto ed aveva congetturato che tutti i numeri perfetti pari siano di questa forma; la dimostrazione però fu trovata solo da Eulero, oltre due millenni dopo (si veda 104 Number Theory Problems).

 

Si conoscono quindi tanti numeri perfetti quanti sono i numeri primi di Mersenne. In effetti, la caccia ai numeri perfetti fu per secoli la principale motivazione per la ricerca di primi di Mersenne.

 

Le indagini su questi numeri furono dapprima stimolate da speculazioni filosofiche e numerologiche. Intorno al 100 d. C. Nicomachus di Gerasa (60 – 120) divise per primo i numeri naturali in perfetti, abbondanti e deficienti in Introductio Arithmetica (con fantasiosi paragoni con animali con arti e organi in sovrannumero o mancanti) notò che i primi numeri perfetti, 6, 28, 496 e 8128, terminano alternativamente in 6 e 8 e che ve n’è esattamente uno tra due potenze consecutive di 10 (10, 100, 1000 etc.), ma sembra che sia stato di Iambilichus (283 circa – 330) l’errore di considerare sempre vere queste caratteristiche, traendone anche la conseguenza che tali numeri sono infiniti. Boezio in De institutione arithmetica riprese queste affermazioni: “Et semper hi numeri duobus paribus terminantur, .VI. et .VIII., et semper alternatim in hos numeros summarum fine provenient” (E sempre questi numeri sono chiusi da due pari, 6 e 8, e sempre terminano in modo alternato alla fine delle somme [dei divisori] in questi numeri).

In effetti i numeri perfetti, a parte 6, devono terminare in 28 o 6, ma non è detto che le cifre finali si alternino (la prima ripetizione della cifra finale avviene proprio con i due numeri perfetti immediatamente successivi a quelli noti a Iambilichus), mentre non vi è alcun numero perfetto tra 10000 e 100000.

 

Questi errori furono poi ripresi da autori successivi e tramandati per una quindicina di secoli: Aurelio Augustino (354– 430), Boezio (Anicio Manlio Severino Boezio, 481 circa – 524), il filosofo condannato a morte da Teodorico, citato nella “leggenda di Teodorico” di Carducci, Alcuino di York (735 – 804), Luca Pacioli (1445 – 1517), per citarne solo alcuni.

Pacioli sembra commettere per primo l’errore di supporre primi tutti i numeri di Mersenne di indice dispari, mentre se n = ab, 2n – 1 è divisibile per 2a – 1 e 2b – 1. Pacioli considera infatti primo 227 – 1 = 134217727 = 7 • 73 • 262657. Da notare che in questo caso il fattore 7, indicato dalla regola sopra esposta, si trova anche facilmente per tentativi.

Charles de Bouvelles (Saint-Quentin, Francia, circa 1475 – Ham, dopo il 1566) fu il primo a dare esplicitamente questa regola errata (che implicherebbe l’alternanza delle cifre finali), citando 29 – 1 = 511 = 7 • 71 come primo; anche in questo caso sarebbero serviti ben pochi calcoli per trovare l’errore.

A onor del vero i matematici più seri, come Thâbit ben Korrah e Leonardo Pisano, distinguevano tra teoremi, come quello di Euclide, e congetture, ma fino al Rinascimento molti si limitavano a ripetere le opinioni altrui senza operare distinzioni, né tantomeno semplici verifiche.

Persino illustri matematici come Tartaglia caddero in un errore che oggi uno studente delle medie evita facilmente (anche senza usare la calcolatrice, se è bravo).

 

Il matematico arabo Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194 – 1239) diede un elenco dei primi 10 numeri perfetti, con p uguale a 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19 e 23. I casi 9, 11 e 23 erano errati, tuttavia per i casi 13, 17 e 19 gli spetta il primato della scoperta, o meglio, gli spetterebbe se avesse dimostrato 2p – 1 primo in tali casi, ma l’impressione è che le sue fossero semplici congetture. Il suo lavoro fu però totalmente ignorato in Europa e tali numeri furono riscoperti indipendentemente.

Nel 1456 un manoscritto, scritto da un anonimo fiorentino allievo di Domenico d'Agostino Vaiaio, riportò il quinto numero perfetto, 212(213 – 1) = 3355036, che pose fine alla congettura dell’esistenza di un numero perfetto tra potenze consecutive di 10, ma rinforzò l’idea dell’alternanza delle cifre finali. Non è dato sapere se l’Autore abbia attinto all’opera di ibn Fallus o abbia riscoperto il numero.

 

Finalmente Cataldi (1548 – 1626) trovò il sesto numero perfetto, 216(217 – 1) = 8589869056, e il settimo (Trattato de numeri perfetti, Bologna 1603), facendo così crollare la “regola” dell’alternanza delle cifre finali. Cataldi dimostrò che M17 e M19 sono primi, provando tutti i possibili divisori, dimostrò che solo i numeri di Mersenne con indice primo possono essere primi e dimostrò che non tutti lo sono, riportando la scomposizione di M11 = 211 – 1 = 2047 = 23 • 89 (già trovata nel 1538 da Hudalrichus Regius). Le sue ricerche lo costrinsero a creare una tabella dei numeri primi (sino a 750), che fu tra le prime pubblicate.

Il primo esempio di ripetizione della cifra 8 finale si ha con i due numeri perfetti successivi: 218(219 – 1) = 137438691328 e 230(231 – 1) = 2305843008139952128.

 

Il lavoro di Cataldi non impedì a decine di autori del XVII secolo, tra i quali Bachet, di continuare a proporre liste di numeri perfetti sbagliate, considerando erroneamente molti numeri di Mersenne composti, tra i quali 511, come primi. Cataldi stesso diede un elenco errato di primi di Mersenne (e quindi di numeri perfetti), aggiungendo a quelli trovati anche M23, M29, M31 e M37, tra i quali solo M31 è primo.

 

Nel Medio Evo si sprecano le speculazioni filosofiche sulla perfezione di alcuni numeri: per esempio, secondo Alcuino la creazione dell’universo, opera perfetta, richiese 6 giorni, mentre gli (imperfetti) esseri umani a bordo dell’Arca di Noé erano 8 (piuttosto seccante: è addirittura un numero deficiente). E’ interessante notare che molte di queste elucubrazioni di autori cristiani riprendevano in realtà le più antiche tradizioni pagane pitagoriche, come considerare 5 simbolo del matrimonio, perché formato dall’“unione” tra il numero femminile 2 e il numero maschile 3.

Ancora venivano trovate tracce di perfezione nella lunghezza di 28 giorni del ciclo lunare (che già i babilonesi sapevano essere ben più lungo), o, per i mussulmani, nelle 28 lettere dell’alfabeto arabo, usate per scrivere il Corano (al-Biruni, 1048) e nei 28 profeti menzionati prima di Maometto nel Corano stresso.

 

Franciscus Maurolycus (1494 – 1575) dimostrò (correttamente) nel 1575 che i numeri perfetti sono esagonali e quindi triangolari.

 

Fermat asserì che i fattori primi di Mn devono avere la forma 2kn + 1, come dimostrato in seguito da Eulero, riducendo di molto i tentativi da effettuare per dimostrare che un numero di Mersenne è primo, dimostrò che Cataldi s’era sbagliato a proposito di M23 e M37 e asserì di poter risolvere qualsiasi problema relativo alle somme dei divisori. Sfidato nel 1644 da Frenicle a trovare un numero perfetto di 20 o 21 cifre, replicò che non ne esistono. Non è chiaro se Fermat fosse a conoscenza dei lavori di Mersenne, avesse realmente dimostrato che l’ottavo numero di Mersenne è M31 o si basasse solo su congetture, perché il grande francese non amava svelare i suoi metodi; fatto sta che la risposta era corretta. Possiamo supporre che conoscesse il lavoro di Cataldi o fosse arrivato indipendentemente alle stesse conquisioni, dopodiché gli sarebbe semplicemente bastato calcolare che da M31 si ottiene un numero di 19 cifre e da M37 (il candidato successivo, che non è primo) se ne otterrebbe uno di 22, anche senza stabilire se M31 e M37 siano primi o meno.

 

Mersenne compilò una lista di numeri di Mersenne primi, e di conseguenza di numeri perfetti (v. numeri di Mersenne), contenente però errori, che vennero scoperti solo due secoli dopo, ma comunque la sua opera segnò la fine delle congetture sopra riferite, almeno tra i matematici seri.

 

Per trovare una dimostrazione rigorosa che M31 è primo bisognò aspettare sino al 1772, quando Eulero ci riuscì, verificando tutti i possibili fattori. Eulero trovò anche l’ultimo errore nella lista di Cataldi, scomponendo M29 (1738).

Eulero dimostrò che se p è dispari, i fattori primi di 2p – 1 sono della forma 8k + 1 o 8k + 7, dimezzando all’incirca il numero di divisioni da eseguire per dimostrare primo un numero di Mersenne.

 

All’inizio del XIX secolo 230(231 – 1) era, secondo alcuni, “il più grande numero perfetto che sarà mai scoperto, perché, dato che sono curiosi senza essere utili, non è verosimile che alcuno tenterà di trovarne uno maggiore” (Peter Barlow, La Teoria dei Numeri, 1811). Una delle previsioni più sbagliate della storia della matematica: la gara incoraggiata da Mersenne continuò a interessare grandi matematici e semplici appassionai e prosegue tuttora.

 

Quasi tutti gli esperti ritengono che i primi di Mersenne, e quindi i numeri perfetti, siano infiniti, ma non si intravvede neppure una possibile via per dimostrarlo.

 

La tabella seguente riporta i primi 10 numeri perfetti.

Primo di Mersenne

Numero perfetto

Scomposizione

M2 = 3

6

2(22 – 1)

M3 = 7

28

22(23 – 1)

M5 = 31

496

24(25 – 1)

M7 = 127

8128

26(27 – 1)

M13 = 8191

33550336

212(213 – 1)

M17 = 131071

8589869056

216(217 – 1)

M19 = 524287

137438691328

218(219 – 1)

M31 = 2147483647

2305843008139952128

230(231 – 1)

M61 = 2305843009213693951

2658455991569831744654692615953842176

260(261 – 1)

M89 = 618970019642690137449562111

191561942608236107294793378084303638130997321548169216

288(289 – 1)

 

Alcune proprietà dei numeri perfetti:

  • se n è perfetto, Somma dei reciproci dei divisori di n uguale a 2, dove la somma va calcolata su tutti i divisori di n (Catalan);

  • se n è perfetto, d(n) è dispari, perché n non è un quadrato;

  • un numero perfetto maggiore di 6 è multiplo di un quadrato;

  • imultipli dei numeri perfetti sono abbondanti, quindi nessun numero perfetto è multiplo di un altro numero perfetto;

  • un numero perfetto pari non è trapezoidale;

  • ogni numero perfetto è pratico;

 

Ogni numero perfetto pari 2p – 1(2p – 1) è:

  • esagonale Numero perfetto pari come numero esagonale;

  • triangolare Numero perfetto pari come numero triangolare, ossia esprimibile come somma di interi consecutivi da 1 a 2p – 1;

  • se maggiore di 6, ennagonale centrato Numero perfetto pari come numero ennagonale centrato (v. numeri poligonali centrati);

  • se maggiore di 6, esprimibile come Numero perfetto pari come somma di nove volte un numero triangolare più uno, dove Tn è un numero triangolare e Indice del numero triangolare è della forma 8k + 2;

  • se maggiore di 6, somma dei primi Numero di cubi da sommare per ottenere il numero perfetto pari cubi dispari consecutivi a partire da 1;

  • pernicioso.

 

Un numero n è perfetto se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché un intero n sia perfetto (Ruiz).

 

La somma dei reciproci dei numeri perfetti, sia pari che dispari, è finita.

 

Non esistono numeri perfetti che siano coefficienti binomiali Coefficiente binomiale C(n, k) con n ≥ 2k ≥ 6 (Florian Luca e Juan Luis Varona, 2008).

 

Trai numeri perfetti pari, 28 = 33 + 13 è l’unico della forma an + bn , con a e b primi tra loro e n > 1, e in particolare l’unico della forma an + 1 con n > 1.

 

I numeri perfetti pari maggiori di 6 terminano con 16, 28, 36, 56, 76 o 96 (Lucas, 1891).

 

Nel 1979 James P. Jones dimostrò che sostituendo interi non negativi alle 13 variabili nel polinomio di grado 27 (2b + 2)n(1 – (4b + 3 – n)2b((2 + hn2a)2 + (n3d3(nd + 2)(h + 1)2 + 1 – m2)2 + (db + d + chn2 + g(4a – 5) – kn)2 + ((a2 – 1)c2 + 1 – k2n2)2 + (4(a2 – 1)i2c4 + 1 – f2)2 + ((knlf)2 – ((a + f2(f2a))2 – 1)(b + 1 + 2jc)2 – 1)2)), i valori positivi che si ottengono sono tutti e soli i numeri perfetti!

Le variabili possono essere ridotte a 7, ma al prezzo di portare il grado del polinomio a 915.

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • Andreescu, Titu;  Andrica, Dorin;  Feng, Zuming;  104 Number Theory Problems, Boston, Birkäuser, 2007 -

    Raccolta di problemi utilizzati per agli allenamenti della squadra statunitense per le Olimpiadi di Matematica.

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 22, giugno 1970, pag. 92 – 96.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Sorli, Ronald M.;  Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers, Sydney, tesi di laurea presso University of Technology, 2003.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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