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Brun (costante di)

Teoria dei numeri 

Si chiama “costante di Brun” la somma dei reciproci dei primi gemelli, ossia la somma Formula per la definizione della costante di Brun.

 

Nel 1919 il matematico norvegese Viggo Brun (Lier, Norvegia, 13/10/1882 – Drøbak, Norvegia, 15/8/1978) stupì gli esperti dimostrando che la somma converge a un limite finito. Ciò è sorprendente, dato che una somma simile estesa a tutti i primi dà un risultato infinito, come dimostrò Eulero, e che tutti ritengono che i primi gemelli siano infiniti.

Brun dimostrò che più in generale, fissati a e b, la somma dei reciproci dei primi della forma ap + b, con p primo, è finita; la costante di Brun corrisponde al caso a = 1, b = 2.

 

La dimostrazione di Brun ci dice che i primi gemelli sono relativamente rari tra i primi: infatti, se tendessero a una frazione finita, anche piccola, come Un millesimo dei primi, la somma sarebbe infinita. Il fatto che sia finita non esclude però che i primi gemelli siano infiniti.

 

B. Segal dimostrò nel 1930 che converge qualsiasi somma del genere che consideri solo i primi che differiscono di una costante fissata.

In particolare è possibile calcolare una costante analoga per i primi cuginiSomma dei reciproci dei primi cugini (in questo caso di solito si omette il primo termine, Un terzo più un settimo, per limitare la somma ai primi consecutivi (3 e 7 sono gli unici primi cugini non consecutivi, perché tra essi vi è 5).

 

R.P. Brent suppose nel 1975 che la somma dei reciproci dei primi gemelli minori di n tenda a Somma dei reciproci dei primi gemelli minori di n, dove C2 è la costante dei primi gemelli.

 

La costante di Brun è una delle più difficili da calcolare, tanto che in teoria non siamo sicuri di conoscerne alcuna cifra! La difficoltà sta nel fatto che non si conosce alcun modo per calcolarla, se non sommare effettivamente tutti i reciproci dei primi gemelli che si trovano al di sotto di un limite prefissato. In questo modo si ottiene un valore approssimato per difetto, ma non si può stabilire con certezza quanto sia buona l’approssimazione. Una congettura di Hardy – Littlewood, sfortunatamente non ancora dimostrata, fornisce un modo per stimare l’errore e sulla sua base possiamo affermare di conoscere (probabilmente) a malapena una decina di cifre della costante.

 

La costante ha acquisito una certa notorietà anche al di fuori dell’ambiente dei matematici, perché nel 1996 T. Nicely trovò un errore nel processore Pentium tentando di calcolarla: l’errore riguardava le cifre oltre la nona nel calcolo di alcuni quozienti ed era passato inosservato per un anno sia alla Intel, che agli utenti.

 

Per calcolare 9 cifre T. Nicely dovette esaminare tutti i primi sino a 1015, determinando che il valore è compreso tra 1.902160580962 e 1.902160584222, e P. Sebah esaminò tutti i primi sino a 1016, determinando che la costante è circa 1.902160583104, ma la stima si può ritenere corretta solo supponendo vera una versione estesa della congettura dei primi gemelli.

 

La tabella riporta i record nel calcolo di questa costante.

Cifre

Autore

Anno

2

E.S. Selmer

1942

3

C.E. Froberg

1961

4

D. Shanks e J.W. Wrench

1974

5

J. Bohman

1974

7

R.P. Brent

1975

8

P. Sebah

1999

9

T. Nicely

1999

10

P. Sebah

2002

 

La dimostrazione di Brun implica che anche le somme dei reciproci di triple di primi della forma p, p + 2, p + 6 o di altri gruppi contenenti due primi che differiscono di 2 esistono e sono finite. Niceli ha calcolato le somme dei reciproci di:

  • triple di primi della forma p, p + 2, p + 6: circa 1.0978510391;

  • triple di primi della forma p, p + 4, p + 6: circa 0.8371132125;

  • quadruple di primi della forma p, p + 2, p + 6, p + 8: circa 0.8705883800.

 

Vedi anche

Primi gemelli.

Bibliografia

  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Riesel, H.;  Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Birkhäuser, 1985.

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