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Giuga (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura più famosa di Giuseppe Giuga è che un numero naturale n è primo se e solo se divide Formula per la congettura di Giuga (1950).

Per esempio, 5 divide 14 + 24 + 34 + 44 + 1 = 1 + 16 + 81 + 256 + 1 = 355, mentre 6 non divide 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 1 = 1+ 32 + 243 + 1024 + 3125 + 1 = 4426.

 

Come conseguenza del “piccolo” teorema di Fermat, tutti i primi p dividono Somma che è divisibile di p, se p è primo, perché kp – 1 ≡ 1 mod p, quindi la somma modulo p è la somma di (p – 1) volte 1; il vero problema è se esista un intero composto con questa proprietà.

 

La formula è simile a quella del teorema di Wilson, che afferma che un numero n è primo se e solo se divide Formula per il teorema di Wilson.

 

Giuga dimostrò che Formula per il teorema di Giuga se e solo se per ogni primo p che divide n, sia p, sia p – 1 dividono n / p – 1.

 

Una formulazione equivalente, dovuta a Takashi Agoh nel 1990 è che nBn – 1 ≡ –1 mod n se e solo se n è primo.

La congettura di Giuga è equivalente alla congettura di Agoh, nel senso che un controesempio per l’una sarebbe anche un controesempio per l’altra.

 

E’ stato dimostrato che un controesempio dovrebbe essere contemporaneamente un numero di Carmichael e di Giuga, quindi dovrebbe essere dispari e non multiplo di quadrati.

 

Negli anni il limite minimo per un controesempio è stato aumentato varie volte:

  • Giuga dimostrò nel 1950 che non vi sono controesempi minori di 101000;

  • Edmondo Bedocchi nel 1985 portò il limite a 101700;

  • Laerte Sorini lo portò a 102265 nel 1995;

  • D. Borwein, J. Borwein, P.B. Borwein e R. Girgensohn nel 1996 lo portarono a 1013887;

  • J.M. Borwein, M. Skerritt e C. Maitland nel 2013 dimostrarono che un controesempio deve avere almeno 4771 fattori primi e quindi deve essere maggiore di 1019907;

  • Laerte Sorini portò il limite a 1036067 nel 2001.

 

Giuga indicò una possibile via per la dimostrazione, sotto forma di una successione non decrescente an, che permette di verificare con relativa rapidità la congettura fino al prodotto dei primi an numeri primi. La speranza di Giuga, e di chi dopo di lui percorse la stessa via, era di riuscire a dimostrare che la successione cresce indefinitamente, conservando la proprietà desiderata, dimostrando quindi la congettura. Sfortunatamente nel 1985 Edmondo Bedocchi dimostrò che la successione è limitata e che quindi il metodo di Giuga permette solo di verificare la congettura fino a un limite molto alto. L’evidenza numerica indica che il limite è stato praticamente raggiunto e che quindi la dimostrazione dovrà seguire un’altra strada.

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