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Primi gemelli

Teoria dei numeri 

Si dicono “gemelli” due numeri primi che differiscano di 2, come 11 e 13.

 

I primi che non fanno parte di una coppia di primi gemelli si dicono “isolati”; è facile dimostrare che questi sono infiniti. Per esempio, per il teorema di Dirichlet esistono infiniti primi della forma p = 15n + 7, che sono isolati, perché p – 2 e p + 2 sono multipli rispettivamente di 5 e 3.

 

Sebbene il concetto sia molto semplice, tanto che ci si aspetterebbe che fossero stati trattati già nell’antichità, il primo riferimento ai primi gemelli risale a de Polignac, nel 1949 (v. congettura di de Polignac (II)).

 

L’unico primo appartenente a due coppie di primi gemelli è 5.

 

A parte 3 e 5, tutte le coppie di primi gemelli sono della forma 6n – 1, 6n + 1; si può dimostrare inoltre che n non può essere della forma 6xyxy, 6xy + xy, o 6xy + x + y (Jon Perry, 2002, Francesca Balestrieri, 2011).

 

Se indichiamo con n il prodotto di due numeri dispari consecutivi p e p + 2, le seguenti condizioni sono equivalenti, nel senso che una implica tutte le altre:

  • p e p + 2 sono una coppia di primi gemelli;

  • 4((p – 1)! + 1) + p è un multiplo di n (P.A. Clement, 1949); è una conseguenza del teorema di Wilson e come quello non ha utilità pratica nella caccia ai primi gemelli, a causa dell’enormità dei numeri coinvolti;

  • φ(n)σ(n) = (n – 3)(n + 1) = p4 + 4p3 + 2p2 – 4p + 3 (Sergusov 1971);

  • σ(n) = n + 1 + 2 * sqrt(n + 1) = p^2 + 4 * p + 3;

  • φ(n) = n + 1 – 2 * sqrt(n + 1) = p^2 – 1;

  • σ(p) = φ(n + 2) (Reinhard Zumkeller, 2002);

  • p’ + (p + 2)’ = 2, dove n’ e la derivata aritmetica di n;

  • Identità valida se e solo se p e p + 2 sono primi gemelli, per a reale non negativo (S.M. Ruiz).

 

Se p e q = p + 2 sono primi gemelli, Identità valida se p e q = p + 2 sono primi gemelli (Jonathan Sondow).

 

Le coppie di primi gemelli minori di 1000 sono:

3, 5;

5, 7;

11, 13;

17, 19;

29, 31;

41, 43;

59, 61;

71, 73;

101, 103;

107, 109;

137, 139;

149, 151;

179, 181;

191, 193;

197, 199;

227, 229;

239, 241;

269, 271;

281, 283;

311, 313;

347, 349;

419, 421;

431, 433;

461, 463;

521, 523;

569, 571;

599, 601;

617, 619;

641, 643;

659, 661;

809, 811;

821, 823;

827, 829;

857, 859;

881, 883.

Qui trovate le coppie di primi gemelli minori di 107.

 

La tabella seguente riporta il numero di coppie  di primi gemelli minori di 10n, indicato come π2(n), per n fino a 18.

n

π2(n)

Autore

10

2

 

102

8

 

103

35

 

104

205

 

105

1224

J.W.L.Glaisher, 1878

106

8169

G.A. Streafeild, 1923

107

58980

D.H. Lehmer, 1957

108

440312

G. Armendiny e F. Gruenberger, 1961

109

3424506

J. Bohman, 1973

1010

27412679

 

1011

224376048

R.P. Brent, 1995

1012

1870585220

 

1013

15834664872

 

1014

135780321665

M. Kutnib e D. Richstein, 1995

1015

1177209242304

 

1016

10304195697298

 

1017

90948839353159

 

1018

808675888577436

 

 

A caccia di record, alcuni si sono impegnati nel tentativo di trovare grandi primi gemelli; i record più recenti sono:

  • 24025 • 3 • 54020 • 7 • 11 • 13 • 79 • 223 ± 1, vale a dire 1692923232 seguito da 4020 zeri, più o meno uno, per un totale di 4030 cifre (H. Dubner);

  • 361700055 • 239020 ± 1, 11755 cifre (H. Lifchitz, 1999);

  • 4648619711505 • 260000 ± 1, 18075 cifre (trovati nel 2000);

  • 16869987339975 • 2171960 ± 1, 51779 cifre (Z. Járai, Farkas, Csajbok, Kasza e A Járai, 2005);

  • 2003663613 • 2195000 ± 1, 58711 cifre (Eric Vautier, 2007);

  • 3756801695685 • 2666669 ± 1, 200700 cifre;

  • 2996863034895 • 21290000 ± 1, 388342 cifre (Tom Greer, PrimeGrid, 2016).

 

Nel 1919 Viggo Brun dimostrò che esistono sequenze arbitrariamente lunghe di primi consecutivi che non contengono primi gemelli e che la somma dei reciproci dei primi gemelli è finita (v. costante di Brun).

 

I numeri 3042492 + 210n ± 1 per n da 0 a 5 formano 6 coppie di primi gemelli.

I numeri 337190719854678690 • 2n + 1 per n da 0 a 6 formano 7 coppie di primi gemelli.

Sono stati trovati polinomi che producono parecchi primi gemelli: 60n2 + 30n – 30 ± 1 produce primi gemelli per n da 1 a 13; J.K. Andersen ha fatto di meglio, trovando i polinomi 4515n2 + 67725n + 603900 ± 1 e 12483n2 + 187245n + 834960 ± 1, che producono primi gemelli per n da 0 a 15.

 

Non si conosce alcun primo p superiore a 53 tale che non esista una coppia di primi gemelli tra p2 e (p + 1)2.

 

I 3 primi consecutivi 3, 5, 7 formano 2 coppie di primi gemelli consecutivi.

I 4 primi consecutivi 5, 7, 11, 13 formano 2 coppie di primi gemelli consecutivi e distinti.

L’unica sequenza di primi gemelli consecutivi di lunghezza dispari è quella di 7 primi che inizia con 3, perché 5 è l’unico primo che appartenga a due coppie di primi gemelli.

 

Le sequenze di esattamente 4 primi gemelli consecutivi inferiori a 10000 sono:

  • 101, 103, 107, 109;

  • 137, 139, 149, 151;

  • 419, 421, 431, 433;

  • 1019, 1021, 1031, 1033;

  • 1049, 1051, 1061, 1063;

  • 1481, 1483, 1487, 1489;

  • 1871, 1873, 1877, 1879;

  • 1931, 1933, 1949, 1951;

  • 2081, 2083, 2087, 2089;

  • 2111, 2113, 2129, 2131;

  • 2969, 2971, 2999, 3001;

  • 3251, 3253, 3257, 3259;

  • 3461, 3463, 3467, 3469;

  • 4259, 4261, 4271, 4273;

  • 5009, 5011, 5021, 5023;

  • 5651, 5653, 5657, 5659;

  • 5867, 5869, 5879, 5881;

  • 6689, 6691, 6701, 6703;

  • 6947, 6949, 6959, 6961;

  • 7331, 7333, 7349, 7351;

  • 7547, 7549, 7559, 7561;

  • 8219, 8221, 8231, 8233;

  • 8969, 8971, 8999, 9001.

Qui trovate le sequenze di esattamente 4 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 (8.4 MByte) (M. Fiorentini, 2016).

 

Le sequenze di esattamente 6 primi gemelli consecutivi inferiori a 105 sono:

  • 179, 181, 191, 193, 197, 199;

  • 809, 811, 821, 823, 827, 829;

  • 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391;

  • 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243;

  • 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793;

  • 18041, 18043, 18047, 18049, 18059, 18061;

  • 21587, 21589, 21599, 21601, 21611, 21613;

  • 26861, 26863, 26879, 26881, 26891, 26893;

  • 49367, 49369, 49391, 49393, 49409, 49411;

  • 67187, 67189, 67211, 67213, 67217, 67219;

  • 80447, 80449, 80471, 80473, 80489, 80491;

  • 82721, 82723, 82727, 82729, 82757, 82759;

  • 91127, 91129, 91139, 91141, 91151, 91153;

  • 97841, 97843, 97847, 97849, 97859, 97861;

  • 98897, 98899, 98909, 98911, 98927, 98929.

Qui trovate le sequenze di esattamente 6 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 (M. Fiorentini, 2016).

 

Le sequenze di esattamente 8 primi gemelli consecutivi inferiori a 106 sono:

  • 9419, 9421, 9431, 9433, 9437, 9439, 9461, 9463;

  • 62969, 62971, 62981, 62983, 62987, 62989, 63029, 63031;

  • 72221, 72223, 72227, 72229, 72251, 72253, 72269, 72271;

  • 392261, 392263, 392267, 392269, 392279, 392281, 392297, 392299;

  • 495569, 495571, 495587, 495589, 495611, 495613, 495617, 495619;

  • 663569, 663571, 663581, 663583, 663587, 663589, 663599, 663601.

Qui trovate le sequenze di esattamente 8 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 (M. Fiorentini, 2016).

 

Le sequenze di esattamente 10 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 sono:

  • 909287, 909289, 909299, 909301, 909317, 909319, 909329, 909331, 909341, 909343;

  • 2596619, 2596621, 2596637, 2596639, 2596661, 2596663, 2596667, 2596669, 2596679, 259668;

  • 9617981, 9617983, 9617987, 9617989, 9617999, 9618001, 9618017, 9618019, 9618041, 9618043;

  • 12628337, 12628339, 12628349, 12628351, 12628379, 12628381, 12628391, 12628393, 12628409, 12628411;

  • 84733211, 84733213, 84733247, 84733249, 84733277, 84733279, 84733301, 84733303, 84733391, 84733393

  • 18873497, 18873499, 18873509, 18873511, 18873521, 18873523, 18873527, 18873529, 18873539, 18873541;

  • 21579629, 21579631, 21579641, 21579643, 21579659, 21579661, 21579671, 21579673, 21579707, 21579709;

  • 25739771, 25739773, 25739807, 25739809, 25739837, 25739839, 25739867, 25739869, 25739891, 25739893;

  • 34140077, 34140079, 34140089, 34140091, 34140101, 34140103, 34140179, 34140181, 34140191, 34140193;

  • 39433367, 39433369, 39433391, 39433393, 39433397, 39433399, 39433409, 39433411, 39433439, 39433441;

  • 62832101, 62832103, 62832137, 62832139, 62832149, 62832151, 62832167, 62832169, 62832191, 62832193;

  • 67369397, 67369399, 67369409, 67369411, 67369427, 67369429, 67369439, 67369441, 67369481, 67369483;

  • 84733211, 84733213, 84733247, 84733249, 84733277, 84733279, 84733301, 84733303, 84733391, 84733393;

  • 90122507, 90122509, 90122519, 90122521, 90122561, 90122563, 90122621, 90122623, 90122651, 90122653;

  • 102243017, 102243019, 102243059, 102243061, 102243077, 102243079, 102243107, 102243109, 102243131, 102243133;

  • 132826607, 132826609, 132826619, 132826621, 132826649, 132826651, 132826691, 132826693, 132826709, 132826711;

  • 140456711, 140456713, 140456747, 140456749, 140456777, 140456779, 140456801, 140456803, 140456807, 140456809;

  • 142749149, 142749151, 142749161, 142749163, 142749179, 142749181, 142749239, 142749241, 142749251, 142749253;

  • 180929687, 180929689, 180929699, 180929701, 180929711, 180929713, 180929717, 180929719, 180929729, 180929731;

  • 201057539, 201057541, 201057581, 201057583, 201057611, 201057613, 201057629, 201057631, 201057641, 201057643;

  • 212461979, 212461981, 212462021, 212462023, 212462051, 212462053, 212462057, 212462059, 212462069, 212462071;

  • 219970547, 219970549, 219970559, 219970561, 219970577, 219970579, 219970589, 219970591, 219970601, 219970603;

  • 228001649, 228001651, 228001679, 228001681, 228001721, 228001723, 228001769, 228001771, 228001817, 228001819;

  • 232867907, 232867909, 232867961, 232867963, 232867967, 232867969, 232867979, 232867981, 232867991, 232867993;

  • 236691989, 236691991, 236692007, 236692009, 236692019, 236692021, 236692031, 236692033, 236692067, 236692069;

  • 237153737, 237153739, 237153767, 237153769, 237153779, 237153781, 237153809, 237153811, 237153821, 237153823;

  • 242977841, 242977843, 242977877, 242977879, 242977937, 242977939, 242977949, 242977951, 242977961, 242977963;

  • 294157847, 294157849, 294157859, 294157861, 294157889, 294157891, 294157907, 294157909, 294157949, 294157951;

  • 301244609, 301244611, 301244621, 301244623, 301244651, 301244653, 301244681, 301244683, 301244687, 301244689;

  • 342389609, 342389611, 342389627, 342389629, 342389651, 342389653, 342389657, 342389659, 342389681, 342389683;

  • 344642237, 344642239, 344642321, 344642323, 344642339, 344642341, 344642357, 344642359, 344642369, 344642371;

  • 367549097, 367549099, 367549121, 367549123, 367549139, 367549141, 367549151, 367549153, 367549181, 367549183;

  • 377848769, 377848771, 377848787, 377848789, 377848811, 377848813, 377848829, 377848831, 377848871, 377848873;

  • 388840577, 388840579, 388840589, 388840591, 388840601, 388840603, 388840631, 388840633, 388840649, 388840651;

  • 418666229, 418666231, 418666247, 418666249, 418666277, 418666279, 418666289, 418666291, 418666319, 418666321;

  • 438882077, 438882079, 438882089, 438882091, 438882107, 438882109, 438882131, 438882133, 438882137, 438882139;

  • 453031697, 453031699, 453031721, 453031723, 453031727, 453031729, 453031751, 453031753, 453031781, 453031783;

  • 463289441, 463289443, 463289459, 463289461, 463289501, 463289503, 463289507, 463289509, 463289537, 463289539;

  • 587255489, 587255491, 587255507, 587255509, 587255519, 587255521, 587255549, 587255551, 587255561, 587255563;

  • 626668121, 626668123, 626668151, 626668153, 626668199, 626668201, 626668307, 626668309, 626668349, 626668351;

  • 754805501, 754805503, 754805507, 754805509, 754805537, 754805539, 754805549, 754805551, 754805561, 754805563;

  • 844372469, 844372471, 844372547, 844372549, 844372577, 844372579, 844372589, 844372591, 844372601, 844372603;

  • 844881809, 844881811, 844881881, 844881883, 844881887, 844881889, 844881899, 844881901, 844881941, 844881943;

  • 914209979, 914209981, 914209991, 914209993, 914209997, 914209999, 914210027, 914210029, 914210051, 914210053;

  • 933690971, 933690973, 933691007, 933691009, 933691019, 933691021, 933691037, 933691039, 933691061, 933691063;

  • 945732629, 945732631, 945732647, 945732649, 945732677, 945732679, 945732701, 945732703, 945732719, 945732721;

  • 981616061, 981616063, 981616079, 981616081, 981616121, 981616123, 981616187, 981616189, 981616199, 981616201;

  • 994540331, 994540333, 994540361, 994540363, 994540439, 994540441, 994540451, 994540453, 994540487, 994540489.

 

Le uniche due sequenze di esattamente 12 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 sono:

  • 325267931, 325267933, 325267937, 325267939, 325267949, 325267951, 325267961, 325267963, 325267979, 325267981, 325267991, 325267993;

  • 412984667, 412984669, 412984727, 412984729, 412984751, 412984753, 412984799, 412984801, 412984877, 412984879, 412984907, 412984909.

 

L’unica sequenza di esattamente 14 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 è formata da 678771479, 678771481, 678771491, 678771493, 678771551, 678771553, 678771557, 678771559, 678771617, 678771619, 678771647, 678771649, 678771659, 678771661.

 

La tabella seguente riporta i minimi primi a partire dai quali si trovi una sequenza di 2n primi gemelli consecutivi, per n fino a 10 (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Minimo primo

Scopritore e anno

1

3

-

2

5

-

3

5

-

4

9419

M. Mudge (1995)

5

909287

M. Mudge (1995)

6

325267931

M. Mudge (1995)

7

678771479

P. Carmody, 2001

8

1107819732821

DeVries, 2001

9

170669145704411

DeVries, 2002

10

3324648277099157

G. Levai, 2004

 

In alcuni casi la somma dei primi gemelli di una coppia è una potenza; la tabella seguente riporta le coppie minime.

Esponente

Minima coppia

2

17 + 19 = 36 = 62

3

3 + 5 = 8 = 23

4

243124999 + 243124999 = 506250000 = 1504 (Carlos Rivera, 2001)

5

4076863487 + 4076863489 = 8153726976 = 965 (Carlos Rivera, 2001)

6

578415690713087 + 578415690713089 = 1156831381426176= 3246 (Carlos Rivera, 2001)

7

139967 + 139969 = 279936 = 67 (Carlos Rivera, 2001)

8

14097567309074239886172287 + 14097567309074239886172289 = 28195134618148479772344576 = 15188 (Carlos Rivera, 2001)

9

73099303486215558911 + 73099303486215558913 = 146198606972431117824 = 1749 (Carlos Rivera, 2001)

10

8954942912818222989311 + 8954942912818222989313 = 17909885825636445978624 = 16810 (Carlos Rivera, 2001)

 

Qui trovate le coppie di primi gemelli minori di 109 la cui somma è una potenza (M. Fiorentini, 2016).

 

Tra le curiosità segnalo che 21 + 33 + 55 + 77 = 826697 e 22 + 33 + 55 + 77 = 826699 sono una coppia di primi gemelli.

 

Il grande problema insoluto sui primi gemelli la congettura dei primi gemelli, ossia il fatto che siano infiniti, ma oltre a questa sono state avanzate varie altre congetture su di essi.

Bibliografia

  • Odifreddi, Piergiorgio;  "La solitudine dei primi gemelli" in Le Scienze, Milano, n. 452, Giugno 2008, pag. 478.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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