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Primi gemelli

Teoria dei numeri 

Si dicono “gemelli” due numeri primi che differiscano di 2, come 11 e 13.

 

I primi che non fanno parte di una coppia di primi gemelli si dicono “isolati”; è facile dimostrare che questi sono infiniti. Per esempio, per il teorema di Dirichlet esistono infiniti primi della forma p = 15n + 7, che sono isolati, perché p – 2 e p + 2 sono multipli rispettivamente di 5 e 3.

 

Sebbene il concetto sia molto semplice, tanto che ci si aspetterebbe che fossero stati trattati già nell’antichità, il primo riferimento ai primi gemelli risale a de Polignac, nel 1949 (v. congettura di de Polignac (II)).

 

L’unico primo appartenente a due coppie di primi gemelli è 5.

 

A parte 3 e 5, tutte le coppie di primi gemelli sono della forma 6n – 1, 6n + 1; si può dimostrare inoltre che n non può essere della forma 6xy – x – y, 6xy + x – y, o 6xy + x + y (Jon Perry, 2002, Francesca Balestrieri, 2011).

 

Se indichiamo con n il prodotto di due numeri dispari consecutivi p e p + 2, le seguenti condizioni sono equivalenti, nel senso che una implica tutte le altre:

  • p e p + 2 sono una coppia di primi gemelli;

  • 4((p – 1)! + 1) + p è un multiplo di n (P.A. Clement, 1949); è una conseguenza del teorema di Wilson e come quello non ha utilità pratica nella caccia ai primi gemelli, a causa dell’enormità dei numeri coinvolti;

  • φ(n)σ(n) = (n – 3)(n + 1) = p4 + 4p3 + 2p2 – 4p + 3 (Sergusov 1971);

  • σ(n) = n + 1 + 2 * sqrt(n + 1) = p^2 + 4 * p + 3;

  • φ(n) = n + 1 – 2 * sqrt(n + 1) = p^2 – 1;

  • σ(p) = φ(n + 2) (Reinhard Zumkeller, 2002);

  • p’ + (p + 2)’ = 2, dove n’ e la derivata aritmetica di n;

  • Identità valida se e solo se p e p + 2 sono primi gemelli, per a reale non negativo (S.M. Ruiz).

 

Se p e q = p + 2 sono primi gemelli, Identità valida se p e q = p + 2 sono primi gemelli (Jonathan Sondow).

 

Le coppie di primi gemelli minori di 1000 sono:

3, 5;

5, 7;

11, 13;

17, 19;

29, 31;

41, 43;

59, 61;

71, 73;

101, 103;

107, 109;

137, 139;

149, 151;

179, 181;

191, 193;

197, 199;

227, 229;

239, 241;

269, 271;

281, 283;

311, 313;

347, 349;

419, 421;

431, 433;

461, 463;

521, 523;

569, 571;

599, 601;

617, 619;

641, 643;

659, 661;

809, 811;

821, 823;

827, 829;

857, 859;

881, 883.

Qui trovate le coppie di primi gemelli minori di 107.

 

La tabella seguente riporta il numero di coppie  di primi gemelli minori di 10n, indicato come π2(n), per n fino a 18.

n

π2(n)

Autore

10

2

 

102

8

 

103

35

 

104

205

 

105

1224

J.W.L.Glaisher, 1878

106

8169

G.A. Streafeild, 1923

107

58980

D.H. Lehmer, 1957

108

440312

G. Armendiny e F. Gruenberger, 1961

109

3424506

J. Bohman, 1973

1010

27412679

 

1011

224376048

R.P. Brent, 1995

1012

1870585220

 

1013

15834664872

 

1014

135780321665

M. Kutnib e D. Richstein, 1995

1015

1177209242304

 

1016

10304195697298

 

1017

90948839353159

 

1018

808675888577436

 

 

A caccia di record, alcuni si sono impegnati nel tentativo di trovare grandi primi gemelli; i record più recenti sono:

  • 24025 • 3 • 54020 • 7 • 11 • 13 • 79 • 223 ± 1, vale a dire 1692923232 seguito da 4020 zeri, più o meno uno, per un totale di 4030 cifre (H. Dubner);

  • 361700055 • 239020 ± 1, 11755 cifre (H. Lifchitz, 1999);

  • 4648619711505 • 260000 ± 1, 18075 cifre (trovati nel 2000);

  • 16869987339975 • 2171960 ± 1, 51779 cifre (Z. Járai, Farkas, Csajbok, Kasza e A Járai, 2005);

  • 2003663613 • 2195000 ± 1, 58711 cifre (Eric Vautier, 2007);

  • 3756801695685 • 2666669 ± 1, 200700 cifre;

  • 2996863034895 • 21290000 ± 1, 388342 cifre (Tom Greer, PrimeGrid, 2016).

 

Nel 1919 Viggo Brun dimostrò che esistono sequenze arbitrariamente lunghe di primi consecutivi che non contengono primi gemelli e che la somma dei reciproci dei primi gemelli è finita (v. costante di Brun).

 

I numeri 3042492 + 210n ± 1 per n da 0 a 5 formano 6 coppie di primi gemelli.

I numeri 337190719854678690 • 2n + 1 per n da 0 a 6 formano 7 coppie di primi gemelli.

Sono stati trovati polinomi che producono parecchi primi gemelli: 60n2 + 30n – 30 ± 1 produce primi gemelli per n da 1 a 13; J.K. Andersen ha fatto di meglio, trovando i polinomi 4515n2 + 67725n + 603900 ± 1 e 12483n2 + 187245n + 834960 ± 1, che producono primi gemelli per n da 0 a 15.

 

Non si conosce alcun primo p superiore a 53 tale che non esista una coppia di primi gemelli tra p2 e (p + 1)2.

 

I 3 primi consecutivi 3, 5, 7 formano 2 coppie di primi gemelli consecutivi.

I 4 primi consecutivi 5, 7, 11, 13 formano 2 coppie di primi gemelli consecutivi e distinti.

L’unica sequenza di primi gemelli consecutivi di lunghezza dispari è quella di 7 primi che inizia con 3, perché 5 è l’unico primo che appartenga a due coppie di primi gemelli.

 

Le sequenze di esattamente 4 primi gemelli consecutivi inferiori a 10000 sono:

  • 101, 103, 107, 109;

  • 137, 139, 149, 151;

  • 419, 421, 431, 433;

  • 1019, 1021, 1031, 1033;

  • 1049, 1051, 1061, 1063;

  • 1481, 1483, 1487, 1489;

  • 1871, 1873, 1877, 1879;

  • 1931, 1933, 1949, 1951;

  • 2081, 2083, 2087, 2089;

  • 2111, 2113, 2129, 2131;

  • 2969, 2971, 2999, 3001;

  • 3251, 3253, 3257, 3259;

  • 3461, 3463, 3467, 3469;

  • 4259, 4261, 4271, 4273;

  • 5009, 5011, 5021, 5023;

  • 5651, 5653, 5657, 5659;

  • 5867, 5869, 5879, 5881;

  • 6689, 6691, 6701, 6703;

  • 6947, 6949, 6959, 6961;

  • 7331, 7333, 7349, 7351;

  • 7547, 7549, 7559, 7561;

  • 8219, 8221, 8231, 8233;

  • 8969, 8971, 8999, 9001.

Qui trovate le sequenze di esattamente 4 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 (8.4 MByte) (M. Fiorentini, 2016).

 

Le sequenze di esattamente 6 primi gemelli consecutivi inferiori a 105 sono:

  • 179, 181, 191, 193, 197, 199;

  • 809, 811, 821, 823, 827, 829;

  • 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391;

  • 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243;

  • 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793;

  • 18041, 18043, 18047, 18049, 18059, 18061;

  • 21587, 21589, 21599, 21601, 21611, 21613;

  • 26861, 26863, 26879, 26881, 26891, 26893;

  • 49367, 49369, 49391, 49393, 49409, 49411;

  • 67187, 67189, 67211, 67213, 67217, 67219;

  • 80447, 80449, 80471, 80473, 80489, 80491;

  • 82721, 82723, 82727, 82729, 82757, 82759;

  • 91127, 91129, 91139, 91141, 91151, 91153;

  • 97841, 97843, 97847, 97849, 97859, 97861;

  • 98897, 98899, 98909, 98911, 98927, 98929.

Qui trovate le sequenze di esattamente 6 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 (M. Fiorentini, 2016).

 

Le sequenze di esattamente 8 primi gemelli consecutivi inferiori a 106 sono:

  • 9419, 9421, 9431, 9433, 9437, 9439, 9461, 9463;

  • 62969, 62971, 62981, 62983, 62987, 62989, 63029, 63031;

  • 72221, 72223, 72227, 72229, 72251, 72253, 72269, 72271;

  • 392261, 392263, 392267, 392269, 392279, 392281, 392297, 392299;

  • 495569, 495571, 495587, 495589, 495611, 495613, 495617, 495619;

  • 663569, 663571, 663581, 663583, 663587, 663589, 663599, 663601.

Qui trovate le sequenze di esattamente 8 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 (M. Fiorentini, 2016).

 

Le sequenze di esattamente 10 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 sono:

  • 909287, 909289, 909299, 909301, 909317, 909319, 909329, 909331, 909341, 909343;

  • 2596619, 2596621, 2596637, 2596639, 2596661, 2596663, 2596667, 2596669, 2596679, 259668;

  • 9617981, 9617983, 9617987, 9617989, 9617999, 9618001, 9618017, 9618019, 9618041, 9618043;

  • 12628337, 12628339, 12628349, 12628351, 12628379, 12628381, 12628391, 12628393, 12628409, 12628411;

  • 84733211, 84733213, 84733247, 84733249, 84733277, 84733279, 84733301, 84733303, 84733391, 84733393

  • 18873497, 18873499, 18873509, 18873511, 18873521, 18873523, 18873527, 18873529, 18873539, 18873541;

  • 21579629, 21579631, 21579641, 21579643, 21579659, 21579661, 21579671, 21579673, 21579707, 21579709;

  • 25739771, 25739773, 25739807, 25739809, 25739837, 25739839, 25739867, 25739869, 25739891, 25739893;

  • 34140077, 34140079, 34140089, 34140091, 34140101, 34140103, 34140179, 34140181, 34140191, 34140193;

  • 39433367, 39433369, 39433391, 39433393, 39433397, 39433399, 39433409, 39433411, 39433439, 39433441;

  • 62832101, 62832103, 62832137, 62832139, 62832149, 62832151, 62832167, 62832169, 62832191, 62832193;

  • 67369397, 67369399, 67369409, 67369411, 67369427, 67369429, 67369439, 67369441, 67369481, 67369483;

  • 84733211, 84733213, 84733247, 84733249, 84733277, 84733279, 84733301, 84733303, 84733391, 84733393;

  • 90122507, 90122509, 90122519, 90122521, 90122561, 90122563, 90122621, 90122623, 90122651, 90122653;

  • 102243017, 102243019, 102243059, 102243061, 102243077, 102243079, 102243107, 102243109, 102243131, 102243133;

  • 132826607, 132826609, 132826619, 132826621, 132826649, 132826651, 132826691, 132826693, 132826709, 132826711;

  • 140456711, 140456713, 140456747, 140456749, 140456777, 140456779, 140456801, 140456803, 140456807, 140456809;

  • 142749149, 142749151, 142749161, 142749163, 142749179, 142749181, 142749239, 142749241, 142749251, 142749253;

  • 180929687, 180929689, 180929699, 180929701, 180929711, 180929713, 180929717, 180929719, 180929729, 180929731;

  • 201057539, 201057541, 201057581, 201057583, 201057611, 201057613, 201057629, 201057631, 201057641, 201057643;

  • 212461979, 212461981, 212462021, 212462023, 212462051, 212462053, 212462057, 212462059, 212462069, 212462071;

  • 219970547, 219970549, 219970559, 219970561, 219970577, 219970579, 219970589, 219970591, 219970601, 219970603;

  • 228001649, 228001651, 228001679, 228001681, 228001721, 228001723, 228001769, 228001771, 228001817, 228001819;

  • 232867907, 232867909, 232867961, 232867963, 232867967, 232867969, 232867979, 232867981, 232867991, 232867993;

  • 236691989, 236691991, 236692007, 236692009, 236692019, 236692021, 236692031, 236692033, 236692067, 236692069;

  • 237153737, 237153739, 237153767, 237153769, 237153779, 237153781, 237153809, 237153811, 237153821, 237153823;

  • 242977841, 242977843, 242977877, 242977879, 242977937, 242977939, 242977949, 242977951, 242977961, 242977963;

  • 294157847, 294157849, 294157859, 294157861, 294157889, 294157891, 294157907, 294157909, 294157949, 294157951;

  • 301244609, 301244611, 301244621, 301244623, 301244651, 301244653, 301244681, 301244683, 301244687, 301244689;

  • 342389609, 342389611, 342389627, 342389629, 342389651, 342389653, 342389657, 342389659, 342389681, 342389683;

  • 344642237, 344642239, 344642321, 344642323, 344642339, 344642341, 344642357, 344642359, 344642369, 344642371;

  • 367549097, 367549099, 367549121, 367549123, 367549139, 367549141, 367549151, 367549153, 367549181, 367549183;

  • 377848769, 377848771, 377848787, 377848789, 377848811, 377848813, 377848829, 377848831, 377848871, 377848873;

  • 388840577, 388840579, 388840589, 388840591, 388840601, 388840603, 388840631, 388840633, 388840649, 388840651;

  • 418666229, 418666231, 418666247, 418666249, 418666277, 418666279, 418666289, 418666291, 418666319, 418666321;

  • 438882077, 438882079, 438882089, 438882091, 438882107, 438882109, 438882131, 438882133, 438882137, 438882139;

  • 453031697, 453031699, 453031721, 453031723, 453031727, 453031729, 453031751, 453031753, 453031781, 453031783;

  • 463289441, 463289443, 463289459, 463289461, 463289501, 463289503, 463289507, 463289509, 463289537, 463289539;

  • 587255489, 587255491, 587255507, 587255509, 587255519, 587255521, 587255549, 587255551, 587255561, 587255563;

  • 626668121, 626668123, 626668151, 626668153, 626668199, 626668201, 626668307, 626668309, 626668349, 626668351;

  • 754805501, 754805503, 754805507, 754805509, 754805537, 754805539, 754805549, 754805551, 754805561, 754805563;

  • 844372469, 844372471, 844372547, 844372549, 844372577, 844372579, 844372589, 844372591, 844372601, 844372603;

  • 844881809, 844881811, 844881881, 844881883, 844881887, 844881889, 844881899, 844881901, 844881941, 844881943;

  • 914209979, 914209981, 914209991, 914209993, 914209997, 914209999, 914210027, 914210029, 914210051, 914210053;

  • 933690971, 933690973, 933691007, 933691009, 933691019, 933691021, 933691037, 933691039, 933691061, 933691063;

  • 945732629, 945732631, 945732647, 945732649, 945732677, 945732679, 945732701, 945732703, 945732719, 945732721;

  • 981616061, 981616063, 981616079, 981616081, 981616121, 981616123, 981616187, 981616189, 981616199, 981616201;

  • 994540331, 994540333, 994540361, 994540363, 994540439, 994540441, 994540451, 994540453, 994540487, 994540489.

 

Le uniche due sequenze di esattamente 12 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 sono:

  • 325267931, 325267933, 325267937, 325267939, 325267949, 325267951, 325267961, 325267963, 325267979, 325267981, 325267991, 325267993;

  • 412984667, 412984669, 412984727, 412984729, 412984751, 412984753, 412984799, 412984801, 412984877, 412984879, 412984907, 412984909.

 

L’unica sequenza di esattamente 14 primi gemelli consecutivi inferiori a 109 è formata da 678771479, 678771481, 678771491, 678771493, 678771551, 678771553, 678771557, 678771559, 678771617, 678771619, 678771647, 678771649, 678771659, 678771661.

 

La tabella seguente riporta i minimi primi a partire dai quali si trovi una sequenza di 2n primi gemelli consecutivi, per n fino a 10 (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Minimo primo

Scopritore e anno

1

3

-

2

5

-

3

5

-

4

9419

M. Mudge (1995)

5

909287

M. Mudge (1995)

6

325267931

M. Mudge (1995)

7

678771479

P. Carmody, 2001

8

1107819732821

DeVries, 2001

9

170669145704411

DeVries, 2002

10

3324648277099157

G. Levai, 2004

 

In alcuni casi la somma dei primi gemelli di una coppia è una potenza; la tabella seguente riporta le coppie minime per le potenze fino alla decima.

Esponente

Minima coppia

2

17 + 19 = 36 = 62

3

3 + 5 = 8 = 23

4

243124999 + 243124999 = 506250000 = 1504 (Carlos Rivera, 2001)

5

4076863487 + 4076863489 = 8153726976 = 965 (Carlos Rivera, 2001)

6

578415690713087 + 578415690713089 = 1156831381426176= 3246 (Carlos Rivera, 2001)

7

139967 + 139969 = 279936 = 67 (Carlos Rivera, 2001)

8

14097567309074239886172287 + 14097567309074239886172289 = 28195134618148479772344576 = 15188 (Carlos Rivera, 2001)

9

73099303486215558911 + 73099303486215558913 = 146198606972431117824 = 1749 (Carlos Rivera, 2001)

10

8954942912818222989311 + 8954942912818222989313 = 17909885825636445978624 = 16810 (Carlos Rivera, 2001)

 

Qui trovate le coppie di primi gemelli minori di 109 la cui somma è una potenza (M. Fiorentini, 2016).

 

Tra le curiosità segnalo che 21 + 33 + 55 + 77 = 826697 e 22 + 33 + 55 + 77 = 826699 sono una coppia di primi gemelli.

 

Il minimo quadrato magico di primi gemelli è il seguente, di Lee Sallows.

191

17

239

197

149

101

59

281

107

 

 

Il grande problema insoluto sui primi gemelli la congettura dei primi gemelli, ossia il fatto che siano infiniti, ma oltre a questa sono state avanzate varie altre congetture su di essi.

Bibliografia

  • Odifreddi, Piergiorgio;  "La solitudine dei primi gemelli" in Le Scienze, Milano, n. 452, Giugno 2008, pag. 478.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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