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Primi cugini

Teoria dei numeri 

Si dicono “cugini” due numeri primi che differiscano di 4, come 13 e 17.

Con questa definizione la minima coppia è formata da 3 e 7 e l’unico primo appartenente a due coppie di primi cugini è 7.

Alcuni aggiungono alla definizione la clausola che i due primi siano consecutivi, escludendo quindi la coppia formata da 3 e 7.

 

Le coppie di primi cugini minori di 1000 sono:

3, 7;

7, 11;

13, 17;

19, 23;

37, 41;

43, 47;

67, 71;

79, 83;

97, 101;

103, 107;

109, 113;

127, 131;

163, 167;

193, 197;

223, 227;

229, 233;

277, 281;

307, 311;

313, 317;

349, 353;

379, 383;

397, 401;

439, 443;

457, 461;

463, 467;

487, 491;

499, 503;

613, 617;

643, 647;

673, 677;

739, 743;

757, 761;

769, 773;

823, 827;

853, 857;

859, 863;

877, 881;

883, 887;

907, 911;

937, 941;

967, 971.

Qui trovate le coppie di primi cugini minori di 107 (1 Mbyte).

 

Come nel caso dei primi gemelli, si ritiene che i primi cugini siano infiniti, ma non è stato dimostrato. Ammettendo una forma forte della congettura di Elliott – Halberstam, è stato dimostrato che almeno uno degli insiemi tra primi gemelli, primi cugini e primi sexy è infinito (v. congettura dei primi gemelli).

 

B. Segal dimostrò nel 1930 che la somma dei reciproci dei primi che differiscono di una costante fissata è convergente; nel caso dei primi cugini la miglior stima disponibile per la costante, indicata con B4, è circa 1.1970449, basata sulle coppie inferiori a 242, escludendo la coppia { 3, 7 } (Marek Wolf, 1996).

Wolf suppose che la somma dei reciproci dei primi cugini minori di n tenda a B4 – 2 * C2 / log(n), dove C2 è la costante dei primi gemelli.

 

Secondo una congettura di Hardy e Littlewood il numero di primi cugini minori di n tende a 2 * C2 * n / log(n)^2, dove C2 è la costante dei primi gemelli, ossia al numero dei primi gemelli minori di n.

 

La tabella seguente mostra come le differenze tra i numeri di coppie dei due tipi siano realmente molto piccole (Marek Wolf, 1996).

n

Coppie di primi gemelli minori di n

Coppie di primi cugini minori di n

218

2679

2678

220

8535

8500

222

27995

27764

224

92246

91995

226

309561

309293

228

1056281

1057146

230

3650557

3650515

232

12739574

12740283

234

44849427

44842399

236

159082253

159089620

238

568237005

568225073

240

2042054332

2042077653

242

7378928530

7378989766

244

26795709320

26795628686

 

 

La massima coppia di primi cugini nota è formata da (311778476 * 587502 * 9001# * (587502 * 9001# + 1) + 210) * (587502 * 9001# – 1) / 35 + 1 e da questo numero più 4 (Ken Davis, 11594 cifre).

La massima coppia di probabili primi cugini nota è { 474435381 · 298394 – 5, 474435381 · 298394 – 1) (Angel, Jobling and Augustin, 29629 cifre); il secondo numero è stato dimostrato primo, il primo è solo un primo probabile.

 

A parte 3, 7 e 11, non esistono sequenze di 3 primi cugini consecutivi, perché in qualsiasi progressione aritmetica di 3 interi con differenza 4 tra termini consecutivi uno dei numeri è multiplo di 3.

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