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Semiprimi (numeri)

Teoria dei numeri 

Sono chiamati “semiprimi” i numeri che sono il prodotto di due numeri primi.

Sono utilizzati in alcuni teoremi, spesso passi intermedi verso la dimostrazione di congetture famose. Per esempio, nel tentare di dimostrare la congettura di Goldbach, che ogni intero positivo pari si può esprimere come somma di due primi, si è arrivati a dimostrare che ogni intero pari abbastanza grande si può esprimere come somma di due primi o di un primo e un semiprimo (Chen, 1973).

 

Il minimo semiprimo è 4 = 2 • 2, che è anche il minimo quadrato; il minimo prodotto di due primi diversi è 6 = 2 • 3, il minimo dispari è 9 = 3 • 3, il minimo dispari prodotto di due primi diversi è 15 = 3 • 5.

 

I semiprimi sono tutti deficienti, tranne 6 e i quadrati.

 

Il numero di semiprimi non superiori a n è Formula per il numero di semiprimi non superiori a n (E. Noel e G. Panos, 2005).

 

Il numero di interi non superiori a n con esattamente k fattori primi distinti tende a Limite asintotico cui tende il numero di interi con esattamente k fattori primi distinti non superiori a n (Landau).

 

La somma dei reciproci dei semiprimi è divergente, ma sono convergenti le seguenti somme, nelle quali S è l’insieme dei semiprimi:

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei semiprimi, dove P(n) è la funzione ζ calcolata sui primi;

Serie infinita legata ai semiprimi;

Serie infinita legata ai semiprimi.

 

Qui trovate le prime 102 cifre decimali della somma dei reciproci dei quadrati dei semiprimi (T.D. Noe,The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 80 cifre decimali di Serie infinita legata ai semiprimi (R.J. Mathar,The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 59 cifre decimali di Serie infinita legata ai semiprimi (R.J. Mathar,The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

E’ relativamente facile costruire semiprimi enormi, moltiplicando due grandi primi; in ogni momento il massimo semiprimo noto è il quadrato del massimo primo noto.

E’ invece molto più raro imbattersi in un grande numero che sia un semiprimo e generalmente molto difficile dimostrare che lo sia effettivamente, soprattutto se i due fattori hanno dimensioni simili (v. numeri brillanti).

Alcuni dei massimi semiprimi, non costruiti moltiplicando primi già noti, ma dimostrati trovando i due fattori sono:

  • 38! + 1 (45 cifre),

  • 1048 + 19 (49 cifre),

  • 1050 + 27 (51 cifre),

  • 1053 + 63 (54 cifre),

  • 1054 – 3 (54 cifre),

  • 1055 – 9 (55 cifre),

  • 1063 + 19 (64 cifre),

  • (274 cifre),

  • 2997 – 1 (301 cifre).

 

Nel 2005 Don Reble dimostrò elegantemente che il numero di 1084 cifre 2354024638195369096484615970884339820364456147543619758078791036601683550549457307734250132091348237679138365175431052395367197785226305983060913117780151701847341955178208368597048273685148832466980967826424129426918703837554365381987202581644055207294439281283465989299148386103333119266471392173618443929665694168419491445893554508312145211159678272609636102501230428807501374214287948209489922794049174568735277898089123328514098559487995775109530064742516289155842487937324115166995479992403844568229440067774588249691771929122269676355283078764925818544665476875565450677122533240801191691993850537069266814811421303138978077711478017700487114651351601764737051295848373315140397997090803794315079856953546188491644172521427470951375250077003634182703827942144576309122358369456491588427467710775884280408394754494151594511691983404256638999613567014727022803472837915664138948795302353410201541057681970330841514731793742263071861503079347455028937566794023056085249684891705541856417002502945739752918768387923426402567816291222511465758828944973345013184363023296235457948241 è semiprimo, pur non conoscendone I fattori, che a tutt’oggi nessuno ha saputo trovare.

 

Esistono coppie di numeri semiprimi consecutivi, come 14 e 15 e terne, la minima delle quali è costituita da 33, 34 e 35, ma non quaterne o sequenze più lunghe, perché tra 4 o più interi consecutivi uno è multiplo di 4 e quindi non può essere un semiprimo. Per lo stesso motivo in una terna il numero centrale è pari.

Non è noto se esistano infinite triple di semiprimi consecutivi.

 

Esistono anche coppie di terne “gemelle”, con differenza 2 tra il massimo dell’una e il minimo dell’altra; il minimo esempio è dato dalle terne (213, 214, 215) e (217, 218, 219); in una coppia del genere il numero “centrale”, intermedio tra le due terne, 216 è multiplo di 36. Una coppia di terne ha tra i fattori due coppie di primi gemelli: una, in questo caso 107 e 109, moltiplicata per 2 costituisce i numeri centrali delle coppia, l’altra, 71 e 73 in questo caso, moltiplicata per 3 costituisce gli estremi del gruppo di numeri.

La questione dell’esistenza di infinite coppie terne del genere dipende quindi anche dall’esistenza di infinite coppie di primi gemelli, congettura non ancora dimostrata.

In ogni caso le coppie di terne sono piuttosto rare: Iannucci riferisce che ve ne sono 6 con numeri minori di 106 e 882 con numeri minori di 109.

 

La più lunga progressione aritmetica di semiprimi con numeri inferiori a 108 comprende 30 numeri e inizia con 13298267, con differenza 1887270 tra termini consecutivi.

Esistono anche catene di Cunningham di seconda specie di semiprimi; quella che inizia con 18900191311, nella quale ogni termine è uguale al doppio del precedente meno uno, ne contiene 17.

 

I 162 interi consecutivi a partire da 799980626860 non comprendono alcun semiprimo (ma 12 primi).

I 165 interi consecutivi a partire da 1441621323844 non comprendono alcun semiprimo (ma 13 primi).

I 170 interi consecutivi a partire da 4339207185939 non comprendono alcun semiprimo (ma 13 primi).

I 173 interi consecutivi a partire da 6252893229398 non comprendono alcun semiprimo (ma 11 primi).

I 13515 interi consecutivi a partire da 14927914859738396468339148731572317688893626075558750117261389272965251263751443381635128387857626922321517365157960080369662711105742575636851066875209853050712862007566796414622441081324137340966529988968368285017295425424924276720293273635597220807174187324406526297413602921495911366209528544582779528467295565290113369716190279306722804494485203340027830885282558177027166290715595398250287514077982129867322469106594839146714189484915566292731183015390874003401963419662917664090833098120284040803953451831849806419324080336252502761960068136335152712169641980442215807744309774870936952364907411886169264295734719329712300443768732844528843316815170862138782117153998643668468455983122053444567530209471196980419830787997594712878492989625779425953054144898854091318496070569172699558351034072905147323874132409668642010423194349235328123148997376329590914201723634080881163722146132850557346260757154176621848017365215508370813343102714147110121128013938671210907193818559693621501243250073165759097238048042893711707742757151153131925950609930488670295215789486503183776018118286651555573002681236033128847660030719976848184833195919257236737533236734330535439568166511593909469880621635169181047300839864262050231687611596789896096265345418969320703070770303756654180714176849399393093410427126419992251522269390930766563407577307660164161706503977817655512326415717788904252145298824925554147050008688270487129357083611323733147305114174728655116152909807136744355491420394679148178559407740108222920215222560744413997289746892650934513706433473797528958262373208069394918373730335255408185000359515589691780112009103030911920609123855880157803450812910168772923682730851785333171479754859495672377560954714271949707636888165354156091413896432877852546494352954954016720933845716554651609193053867295825382550129716108196512406838158296530149087332769453797281621477035160835127380043362329930175584789664243362309343049581064367597791160909853621253046519344218659768068065152038559943406non comprendono alcun semiprimo, né alcun primo.

Bibliografia

  • Iannucci, Douglas E.;  "Almost Twin Prime Triplet Twin" in Journal of Recreational Mathematics, vol. 33, n. 2, 2004 – 2005.

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