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Abbondanti primitivi (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “abbondanti primitivi” i numeri abbondanti, che abbiano tutti i divisori propri deficienti, cioè i numeri abbondanti che non sono multipli di numeri abbondanti o perfetti.

 

Per ogni primo pp per la massima potenza di due non superiore a pè abbondante primitivo o perfetto. In altri termini, moltiplicando un primo per la massima potenza di 2 non superiore al numero, si ottiene un numero abbondante primitivo, tranne le poche eccezioni date dai numeri perfetti. In particolare, se p è un primo compreso tra 2n e 2n + 1, 2np è abbondante primitivo e pseudoperfetto.

Di conseguenza:

  • esistono infiniti abbondanti primitivi;

  • esiste almeno un numero abbondante primitivo divisibile per ogni primo che non sia un primo di Mersenne;

  • esiste almeno un numero abbondante primitivo multiplo di ogni potenza di due.

 

Inoltre esiste un numero abbondante primitivo multiplo di ogni numero n deficiente: infatti, moltiplicando n via via per numeri primi successivi, a partire da quello successivo al suo massimo fattore primo, si ottiene prima o poi un numero abbondante primitivo. Per esempio, partendo da 21 = 3 • 7, si moltiplica per i primi a partire da 11, ottenendo 22309287 = 3 • 7 • 11 • 13 • 17 • 19 • 23, che è abbondante primitivo. Il numero così ottenuto non è necessariamente il minimo abbondante primitivo multiplo di n; per esempio, il minimo che sia multiplo di 21 è 945.

 

I numeri abbondanti primitivi minori di 1000 sono: 20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 550, 572, 650, 748, 836, 945.

Qui trovate i 213217 numeri abbondanti primitivi inferiori a 109 (2.2 Mbyte).

 

Il minimo abbondante primitivo pari è 20, il minimo dispari è 945.

Il minimo abbondante primitivo non multiplo di un quadrato è 70; il minimo dispari è 15015.

Il minimo abbondante primitivo e quadrato è 342225.

 

I numeri abbondanti primitivi con un numero fissato di fattori primi distinti e divisibili al massimo per una potenza fissata di 2 sono in numero finito (Dickson 1913). Per esempio, gli unici numeri abbondanti primitivi dispari con tre fattori distinti sono 33 • 5 • 7 = 945, 32 • 52 • 7 = 1575, 32 • 5 • 72 = 2205, 33 • 52 • 11 = 7425, 35 • 52 • 13 = 78975, 34 • 53 • 13 = 131625, 34 • 52 • 132 = 342225, 33 • 53 • 132 = 570375.

 

La somma dei reciproci dei numeri abbondanti primitivi è finita (Erdös).

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