Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Notazione matematica

Vari 

La notazione è importantissima per semplificare la comunicazione: scrivendo “la lunghezza del lato di un quadrato di area 3” e Radice quadrata di 3 si esprime lo stesso concetto, ma la prima forma è più pesante e obbliga ad attraversare o aggirare una barriera linguistica. La seconda forma, invece è più astratta, svincola la radice quadrata dalla sua interpretazione geometrica, innalza il livello di astrazione e rende più facilmente comprensibili concetti come gli interi di Gauss.

 

Come esempio dell’importanza della notazione, riporto il metodo per la soluzione delle equazioni di terzo grado, così come Tartaglia lo diede a Cardano. Tartaglia voleva essere deliberatamente oscuro, ma confrontate la chiarezza della notazione moderna a fianco.

Quando che ‘l cubo con le cose appresso

Data l’equazione x3 + px

se agguaglia a qualche numero discreto

= q,

trovan dui altri differenti in esso.

trovare u e v tali che uv = q

 

 

Dapoi terrai, questo per consueto

e

che ‘l lor prodotto sempre sia eguale

uv =

al terzo cubo delle cose neto;

p^3 / 3.

 

 

el residuo poi suo generale

La soluzione è allora

delli lor lati cubi ben sottratti

Radice cubica di u meno radice cubica di v

varrà la tua cosa principale.

= x.

 

 

In el secondo de cotesti atti

Data l’equazione

quando che’l cubo restasse lui solo

x3 = px + q,

tu osseruarai quest'altri contratti,

 

 

 

del numer farai due tal part’à uolo

trovare u e v tali che

che l’una in l'altra si produca schietto

uv =

el terzo cubo delle cose in stolo

p^3 / 3.

 

 

delle qual poi, per commun precetto

La soluzione è allora

torrai li lati cubi insieme gionti

Radice cubica di u più radice cubica di v

et cotal somma sara il tuo concetto.

= x.

 

 

El terzo poi de questi nostri conti

Le equazioni del terzo tipo

se solue col secondo se ben guardi

(px = x3 + q)

che per natura son quasi congionti.

si riconducono a quelle del secondo.

 

 

Questi trouai, et non con passi tardi

 

nel mille cinquecente, quatro e trenta

Anno 1534

con fondamenti ben sald’e gagliardi

 

 

 

nella città dal mar’intorno centa.

a Venezia

 

Eppure per migliaia d’anni la matematica si è evoluta senza una notazione propria, a parte la rappresentazione dei numeri. Poi nel giro di un paio di secoli, a partire dal Rinascimento, si è rapidamente diffusa e consolidata gran parte della notazione che oggi conosciamo.

Propongo un elenco delle principali notazioni utilizzate, in ordine cronologico.

  • Le prime notazioni aritmetiche delle quali si abbia traccia sono l’osso di Lebombo, rinvenuto nello Swaziland e risalente al 35000 a.C. circa, che reca incise 29 tacche e un femore di lupo, datato intorno a 30000 anni fa, sul quale sono state incise 55 tacche (11 gruppi di 5).
  • Il primo simbolo matematico fu un simbolo per il numero 10, che comparve in Egitto nel 3400 a.C. e in Mesopotamia nel 3000 a.C., seguito poi da altri simboli per le prime potenze di 10.
  • Nel 2000 a.C. circa in Mesopotamia si comincia a usare una notazione posizionale (in base 60), nella quale uno spazio o un puntino servono a indicare l’assenza di una cifra in quella posizione, ossia lo zero.
  • Nel papiro di Rhind (circa 1650 a.C.) compare una notazione per l’addizione Simbolo egizio per l'addizione (due gambe che camminano verso sinistra) e per la sottrazione Simbolo egizio per la sottrazione (due gambe che camminano verso destra). Nel contesto della scrittura geroglifica tuttavia esito a considerare questo un precursore dei nostri simboli, in quanto assimilabile più a una parola.
  • Gli astronomi greci nel III secolo a.C. introdussero il simbolo Simbolo di grado (dalle prime due lettere di μοι̃ρα, “parte” e quindi “grado”), per indicare i gradi; in seguito la μ scomparve, ma il piccolo cerchietto sopra rimase; è il più antico simbolo matematico tuttora in uso.
  • Nello stesso secolo Archimede introdusse una notazione per numeri molto grandi, ben oltre le capacita di immaginazione dei suoi contemporanei. La notazione, troppo in anticipo sui tempi, non fu apprezzata dai contemporanei e non fu mai realmente usata.
  • Nel 1 d.C. il matematico cinese Liu Hsin introdusse una notazione decimale per i numeri reali, che però ebbe poco seguito.
  • Nel 130 Tolomeo introdusse un simbolo per lo zero, un cerchietto sormontato da una linea orizzontale lunga, in una notazione posizionale sessagesimale.
  • Nel III secolo d.C. Diofanto utilizzava la lettera ς (stigma) per indicare l’incognita (forse dalla lettera finale di α̉ριθμός, “numero”), le abbreviazioni ΔY (da δύναμις, “potenza”) per indicarne il quadrato e KY (da κύβος, “cubo”) per indicarne il cubo, il simbolo Simbolo per le costanti per indicare le costanti, la lettera ϻ (san, dell’alfabeto greco arcaico) per indicare la sottrazione e l’abbreviazione ισ o ι (da ἴσοι εἰσίν, “sono uguali”) per indicare uguale. Si trattava di un progresso notevole, sia pur con qualche difetto: prevedeva una sola incognita e la relazione tra l’incognita e le sue potenze non era immediatamente percepibile, come invece lo è scrivendo x e x2. La sua notazione in ogni caso si dimostrò troppo in anticipo sui tempi e non si diffuse: sei secoli dopo Al-Kwaritzmi descriveva ancora le equazioni a parole, per esteso.
  • Nel 263 il matematico cinese Liu Hui introdusse una notazione decimale per i numeri reali.
  • Il metodo di rappresentare una frazione tramite due interi scritti uno sopra l’altro, ma senza la linea intermedia, risale al matematico indiano Āryabhaţa (476 – 550), nel 499.
  • Nel 525 Dionysius Exiguus utilizzò una parola latina, nulla, e non un simbolo, per indicare lo zero come numero. Nel Medio Evo l’uso si protrasse, talvolta con nihil, talvolta con l’iniziale N (maiuscola).
  • Il matematico indiano Bhramagupta (598 – 670) nel VII secolo pose un puntino sopra i numeri da sottrarre, e il suo allievo Bhāshkara I (Bori, India, circa 600 – circa 680) lo trasformò in un cerchietto, forse per maggior chiarezza; nello stesso periodo si consolidò l’uso dello zero come cifra (forse per merito di Bhramagupta).
  • Lo zero come cifra fu reintrodotto intorno al 680 in Cambogia e Sumatra, come semplice segnaposto, per una cifra “mancante”.
  • Nel 876 comparve a Gwalio, circa 250 Km a Sud di Delhi, la prima testimonianza scritta sicuramente autentica (un’iscrizione su pietra) di una cifra simile al nostro zero.
  • Un simbolo per il punto decimale (una sorta di apice) comparve per la prima volta nel 952, in Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi (Capitoli sull’aritmetica indiana, noto come L’aritmetica di al-Uqlîdisî) dell’oscuro matematico Abu’l Hasan Ahmad ibn Ibrahim al-Uqlîdisî, pubblicato a Damasco e passato praticamente inosservato. In precedenza era comune mettere una lineetta sopra la cifra delle unità o rappresentare i numeri dopo il punto decimale come un esponente sottolineato; così 12.34 era indicato come 1234 o 1234.
  • Nel XII secolo il matematico arabo Abu Bakr Muhammad ibn Abdallah ibn Ayyash al-Hassar, vissuto a Fez, in Marocco, introdusse la linea di frazione orizzontale tra numeratore e denominatore; la notazione si diffuse in Europa nel secolo seguente grazie a Leonardo Fibonacci.
  • Nel 1225 Jordanus Nemorarius utilizzò le lettere dell’alfabeto per indicare le incognite nel suo libro Arithmetica.
  • Nel 1303 Tshu Shih Chieh in Siyuan yujian (Lo specchio di giada dei quattro elementi) usava fino a quattro incognite, indicate con gli ideogrammi che significano “cielo”, “terra”, “uomo” e “materia”: una notazione quasi moderna, che sfortunatamente non sopravvisse.
  • Nicholas Oresme (1323 – 1382) introdusse il segno + intorno al 1360 ed estese il concetto di potenze a esponenti frazionari e negativi.
  • Nel 1456 Johannes Müller Regiomontanus (Königsberg, 6/6/1436 – Roma, 6/7/1476) usò i simboli + e – in un manoscritto non pubblicato.
  • La prima comparsa “ufficiale” del segno – si ebbe nel 1489 ad opera di Joannes Widman (Eger, oggi Cheb, Repubblica Ceca, circa 1460 – Lipsia, circa 1490).
  • Luca Pacioli (Sansepolcro, 1445 – 1517) in Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (Venezia, 1494) scrisse p e m per più e meno (ma anche de per sottrazione), ae (da aequatur, “reso uguale”) per uguale, R per radice e diffuse le abbreviazioni co (da cosa) per l’incognita; ce (da census) per il suo quadrato e cu (da cubo) per il suo cubo.
  • Fino al XV secolo era prassi comune utilizzare parole per indicare le potenze, limitate a quadrati e cubi; il primo a utilizzare una notazione più semplice e generale fu  Nicolas Chuquet (Parigi, 1445 – Lione, 1488) scrisse un testo importante: Triparty en la science des nombres, nel quale usava una notazione con esponenti per le potenze dell’incognita, scrivendo 123 per 12x3; il testo fu però pubblicato solo nel 1880.
  • Il simbolo di radice quadrata risale al 1525, quando comparve nel trattato Die Coss, (La cosa, ovvero l’incognita) scritto dal matematico tedesco Christoff Rudolff (Javor, Polonia, 1499 – Vienna, 1545), per indicare radici quadrate; deriva da una sorta di versione allungata della lettera r, per radix (radice, in latino). Ancora nel 1572 però Bombelli usava la sua notazione privata: Rq e Rc rispettivamente per radice quadrata e cubica, mentre molti matematici italiani dello stesso secolo utilizzavano lato (sottinteso del quadrato) per radice quadrata e lato cubico (ossia spigolo del cubo) per radice cubica, rendendo palese l’origine geometrica del concetto, ma difficoltosa la generalizzazione a radici superiori.
  • Nel 1544 Michael Stifel (Easlingen, Germania, 1487 – Jena, Germania, 1567) in Arithmetica integra introdusse gli esponenti e un simbolo simile a quello moderno per la radice (privo del tratto orizzontale superiore).
  • Nel 1556 Niccolò Fontana Tartaglia (Brescia, 1499 – Venezia, 13/12/1557) introdusse il concetto di parentesi, per controllare l’ordine delle operazioni. Stifel ne aveva già fatto uso nei suoi appunti nel 1544, ma senza divulgarle.
  • Nel 1557 appare il segno = in The Whetstone of Witte, whiche is the seconde parte of Arithmeteke: containing the extraction of rootes; the cossike practise, with the rule of equation; and the workes of Surde Nombers (La pietra per affinare le abilità, che è la seconda parte dell’Aritmetica: contenente l’estrazione di radici, la pratica dell’incognita, con la regola per le equazioni e i lavori sugli irrazionali quadratici) per opera di Robert Recorde (Tenby, Galles, circa 1512 – Londra, 1558), che spiegò il simbolo col fatto che “nulla è più uguale” di due linee; vero, ma mi piacerebbe sapere perché orizzontali e non verticali. Le sue linee erano stranamente lunghe, quasi il quadruplo di quelle attuali. Il libro segna anche la prima apparizione dei segni + e – in un testo in inglese.
  • Nel 1572 Bombelli (Battezzato a Bologna il 26/1/1526 – Roma, 1572) introdusse i simboli Simboli per le parentesi per rappresentare le parentesi.
  • Verso la fine del XVI secolo Jost Bürgi (Lichtensteig, Svizzera, 28/2/1552 – Kassel, Germania, 31/1/1632) introdusse una notazione simile a quella moderna per le potenze, utilizzando i numeri romani per gli esponenti.
  • François Viète (Fontenay-le-Comte, Francia, 1540 – Parigi, 23/2/1603) ripropose nel 1579 una notazione decimale posizionale per i numeri reali, che finalmente si impose nel 1585, quando il belga Simon Stevin  (1548 – 1620) diede in De Thiende una presentazione sistematica su come svolgere calcoli con numeri non interi in notazione decimale, della quale aveva già propagandato l’uso.
  • Nel XVI secolo Pietro Cataldi (Bologna, 15/4/1548 – Bologna, 11/2/1626) introdusse la prima notazione per le frazioni continue, rappresentandole come Notazione di Cataldi per le frazioni continue.
  • Nel 1591 François Viète in In artem analyticam isagoge (Introduzione all’arte analitica) fece un uso esteso dei segni + e – e introdusse l’uso delle lettere maiuscole per indicare parametri e incognite, consonanti per le prime, vocali per le seconde (in francese, quindi A, E, I, O, U e Y), seguite da un’abbreviazione che indicava l’esponente: plano per 1, quad per 2. Viète fu anche il primo a utilizzare il termine “polinomio”.
  • Napier (Edinburgo, 1550 – Edinburgo, 1617) introdusse in Construction of the Wonderful Canon of Logarithms (Costruzione del meraviglioso canone dei logaritmi), pubblicato postumo nel 1619) varie notazioni per i numeri decimali, quali 1☉2☉3☉4☉ (ignoro se il simbolo scelto abbia legami col simbolo alchemico dell’oro o con quello astrologico del Sole), 1/234, 1234 e infine 1.234, che sopravvive ai nostri giorni.
  • Nel 1617 Napier nella Rabdologia presentò un metodo per semplificare le operazioni, che di fatto introduceva l’uso della notazione binaria.
  • Nel 1618 in un’appendice anonima (che potrebbe essere stata scritta da William Oughtred) alla traduzione di Edward Wright (Garveston, Inghilterra, battezzato il 8/10/1561 – Londra, 11/1615) della Mirifici logarithmorum canoni descriptio di Napier si trova il segno ×.
  • Nel 1628 William Oughtred (Eton, Inghilterra, 5/3/1575 – Albury, Inghilterra, 30/6/1660) introdusse il simbolo ±.
  • Nel 1629 Albert Girard (Saint-Mihiel, Francia, 1595 − Leiden, Olanda, 8/12/1632) estese la notazione della radice quadrata a radici generiche.
  • Nel 1631 si rivede il segno × in Clavis mathematicae, di William Oughtred, che nello stesso libro sostiene la necessità di una notazione matematica compatta e introduce le abbreviazioni sin e cos, in uso tuttora.
  • Sempre nel 1631 viene pubblicata l’opera postuma di Thomas Harriot (Oxford, circa 1560 – Londra, 2/7/1621) Artis analyticae praxis ad Aequationes Algebricas Resolvendas (Pratica dell’arte analitica per risolvere equazioni algebriche), nella quale compaiono per la prima volta i segni < e >.
  • Nel 1637 Cartesio (La Haye en Touraine, Francia, 31/3/1596 – Stoccolma, 11/2/1650) in La géométrie introdusse le lettere minuscole in fondo all’alfabeto, cioè x, y e z, per le incognite, e quelle all’inizio, quindi a, b, c ecc., per le quantità note o i parametri, secondo l’uso moderno. Modificò inoltre il simbolo di radice rendendolo uguale a quello attuale e utilizzò la notazione moderna per le potenze, a eccezione, curiosamente, dei quadrati, che indicava ripetendo due volte la base (aa invece di a2), come faceva anche Newton.
  • Intorno al 1650 comparve il simbolo %.
  • Nel 1655 John Wallis (Ashford, Inghilterra, 23/11/1616 – Oxford, Inghilterra, 28/10/1703) introdusse il simbolo di infinito in Arithmetica infinitorum (Aritmetica degli infiniti), forse ricavandolo da un simbolo romano per 1000 (v. numeri romani).
  • Nel 1659 John Pell (Southwick, Inghilterra, 1/3/1611 – 12/12/1685), traducendo in inglese Teutsche Algebra, di Johann Rahn (Töss, Svizzera, 10/3/1622 – Zurigo, 25/5/1676) introdusse il simbolo ÷ per la divisione.
  • Nel 1670 John Wallis introdusse i simboli ≤ e ≥.
  • Nella seconda metà del XVII secolo Seki Takakazu (1642 –5/12/1708) sviluppò una notazione letterale per coefficienti, incognite e loro potenze (v. numeri di Bernoulli).
  • Newton e Leibniz introdussero gli indici per indicare sequenze di numeri.
  • Newton introdusse la notazione con uno o più puntini sopra il nome di una funzione (come in ä) per indicarne le derivate rispetto alla variabile.
  • Gottfried Wilhelm Leibniz (Lipsia, Germania, 1/7/1646 – Hannover, Germania, 14/11/1716) introdusse nel 1675 la notazione moderna Notazione di Leibniz per la derivata per indicare la derivata di y rispetto a x e il simbolo di integrale (una deformazione della lettera S, a ricordare la definizione di integrale come limite di una somma). Leibniz introdusse anche il simbolo : per la divisione nel 1684 e il punto a mezz’altezza per indicare la moltiplicazione nel 1698.
  • Nel 1706 il matematico gallese William Jones (Londra, (28/9/1746 – 27/4/1794) introdusse in Synopsis Palmariorum Matheseos il simbolo π, come abbreviazione della parola greca περιφέρεια (circonferenza) o più probabilmente della parola περίμετρον (perimetro).
  • Nel 1734 Pierre Bouguer (Croisic, Francia, 16/2/1698 – Parigi, 15/8/1758) ripropose il simbolo ≥.
  • Leonhard Euler (Basilea, 15/4/1707 – San Pietroburgo, 18/9/1783), comunemente noto come Eulero in Italia, introdusse i simboli ≠, e, i, ∑ (lettera greca sigma maiuscola) e la notazione f(x) per le funzioni. Il grande matematico entro la fine del XVIII secolo rese anche universale l’uso del simbolo di integrale e del simbolo π e introdusse (ma senza fortuna) l’uso di g per π / 2.
  • Nel 1770 Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marchese di Condorcet (Ribemont, Francia, 17/9/1743 – Bourg-la-Reine, Francia, 28/3/1794) introdusse il simbolo di derivata parziale.
  • Eulero introdusse nel 1784 la notazione πn, per φ(n), senza molto successo.
  • Joseph-Louis Lagrange (Torino, 25/1/1736 – Parigi, 10/4/1813) introdusse la notazione f’(x) per la derivata prima di una funzione e f”(x) per la derivata seconda.
  • Johann Heinrich Lambert (Mulhouse, Francia, 26/8/ 1728 – Berlino, 25/9/1777) introdusse la notazione sinh e cosh, come abbreviazione di sinus hyperbolicus e cosinus hyperbolicus in Osservazioni analitiche, nel 1771.
  • La notazione ab mod m per “a congruente a b modulo m” fu introdotta da Johann Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, Germania, 30/4/1777 – Gottinga, Germania, 23/2/1855) nel 1801 in Disquisitiones Arithmeticae, per sottolineare la somiglianza tra congruenza ed uguaglianza; in precedenza si usava la frase “a è della forma km + b”, tuttora frequentemente usata. Nella stessa opera Gauss introdusse la notazione φn, per φ(n), notazione che, con la successiva aggiunta delle parentesi, divenne di uso universale
  • Nel 1808 Gauss introdusse il simbolo [x] per la parte intera di x.
  • La notazione moderna n! per i fattoriali fu introdotta dal tedesco Christian Kramp (Strasburgo, 8/71760 – 13/5/1826) nel 1808 in Elements d’arithmétique universelle (Elementi d’aritmetica universale);  in precedenza Paolo Ruffini (Valentano, 22/9/1765 – Modena, 10/5/1822) aveva usato nπ e Gauss, Jacobi e Weber scrivevano Π(n) nel 1811, ma le loro notazioni non ebbero successo.
  • Nel XIX secolo per i fattoriali si usava anche la notazione Notazione per i fattoriali; per analogia con questa il reverendo W. Allen Withworth propose per i subfattoriali la notazione Notazione per i subfattoriali, ma le due notazioni non ebbero successo.
  • Nel 1811 Adrien-Marie Legendre (Parigi, 18/9/1752 – Parigi, 10/9/1833) propose il nome e la conseguente abbreviazione per la funzione Γ.
  • Nel 1812 Gauss introdusse il simbolo ∏ (lettera greca pi maiuscola) per i prodotti, per analogia col simbolo ∑ usato per la somma.
  • Nel 1817 Joseph Diaz Gergonne (Nancy, Francia, 19/6/1771 – Montpellier, Francia 4/5/1859) introdusse il simbolo ⊂ per indicare l’inclusione di insiemi; stranamente il simbolo simmetrico ⊃ arrivò solo nel 1890, per merito di Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schröder (Mannheim, Germania, 25/11/1841 – Karlsruhe, Germania, 16/6/1902).
  • La notazione Coefficiente binomiale C(n, k) per i coefficienti binomiali fu introdotta da Andreas Freiherr von Ettinghausen (Heidelberg, Germania, 25/11/1796 – Vienna, 25/5/1878) nel 1826.
  • Nel 1841 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Ostenfelde, Germania, 31/10/1815 – Berlino, 19/2/1897) introdusse il simbolo |x| per il valore assoluto di x; nello stesso anno Arthur Cayley (Richmond, UK, 16/8/1821 – Cambridge, UK, 26/1/1895) introdusse lo stesso simbolo per il determinante di una matrice.
  • La notazione μ(n) per la funzione di Möbius fu introdotta da Franz Mertens (Środa, Polonia, 20/3/1840 – Vienna, 5/3/1927) nel 1874.
  • Hermann Minkowsky (Aleksota, Polonia, 22/6/1864 – Göttingen, Germania, 12/1/1909) introdusse il simbolo ? per una funzione da lui definita che trasforma i numeri reali in razionali, tramite le frazioni continue.
  • La notazione O(x) per indicare una crescita non più rapida di x moltiplicato per una costante fu introdotta da Paul Gustav Heinrich Bachmann (Berlino, 22/6/1837 – Weimar, Germania, 31/3/1920) nel 1884.
  • Alfred Pringsheim (Ohlau, ora Oława, Polonia, 2/9/1850 – Zurigo, 25/6/1941) propose la notazione Notazione di Pringsheim per le frazioni continue per le frazioni continue.
  • Giuseppe Peano (Spinetta, 27/8/1858 – Torino, 20/4/1932) introdusse i simboli ∪ per l’unione di insiemi e ∩ per l’intersezione di insiemi nel 1888, il simbolo ∈ per l’appartenenza a un insieme nel 1894, il simbolo ℕ (dalla lettera iniziale di “naturali”) per l’insieme dei numeri naturali e il simbolo ℚ (dalla lettera iniziale di “quoziente”) per l’insieme dei numeri razionali nel 1895, il quantificatore esistenziale ∃ nel 1897 e la notazione Bn per indicare l’n-esimo numero di Bernoulli nel 1903.
  • Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (san Pietroburgo, 3/3/1845 – Halle, Germania, 6/1/1918) introdusse nel 1893 il simbolo ℵ per i numeri cardinali transfiniti e nel 1895 la notazione { … } per gli insiemi.
  • Bertrand Arthur William Russell (Trellech, UK, 18/5/1872 – Penrhyndeudraeth, UK; 2/2/1970) introdusse nel 1908 il simbolo ∨ per la disgiunzione logica (“o”).
  • Nel 1909 Edmund Georg Hermann Landau (Berlino, 14/2/1877 – Berlino, 19/2/1938) introdusse la notazione o(x) per indicare una una crescita più lenta di x moltiplicato per una costante e la notazione π(n) per il numero di primi non superiori a n.
  • La notazione Ω(x) per indicare una crescita almeno come x moltiplicato per una costante fu introdotta da Godfrey Harold Hardy (Cranleigh, Inghilterra, 1877 – Cambridge, 1/12/1947) e John Edensor Littlewood (Rochester, Inghilterra, 1885 – Cambridge, 7/9/1977) nel 1914.
  • Nel 1917 Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld, (Königsberg, allora regno di Prussia, oggi Kaliningrad, Russia, 5/12/1868 – Monaco, Germania, 26/4/1951) introdusse nel 1917 il simbolo Simbolo dell'integrale di contorno per l’integrale di contorno.
  • Nel 1930 Landau introdusse il simbolo ℤ (dalla lettera iniziale di “zahlen”, ossia “numero” in tedesco) per l’insieme dei numeri interi.
  • Nel 1935 Gerhard Karl Erich Gentzen (Greifswald, Germania, 24/11/1909 – Praga, 4/8/1945) introdusse il qualificatore universale ∀.
  • La notazione Notazione per i numeri di Stirling di seconda specie per i numeri di Stirling di seconda specie fu introdotta da Jovian Karamata (Zagabria, allora impero Austro-ungarico, oggi Croazia, 1/2/1902 – Ginevra, Svizzera, 14/8/1967) nel 1935.
  • Nel 1939 André Weil (Parigi, 6/5/1906 – Princeton, USA, 6/8/1998) introdusse il simbolo ∅ per l’insieme vuoto.
  • Nel 1939 Nathan Jacobson (Varsavia, 5/10/1910 – Hamden, USA, 5/12/1999) introdusse il simbolo ℂ (dalla lettera iniziale di “complex”, ossia “complesso”) per l’insieme dei numeri complessi.
  • La notazione Θ(x) per indicare una crescita almeno come x moltiplicato per una costante, ma non più di x moltiplicato per un’altra costante fu introdotta da Robert Endre Tarjan e Michael Stewart Paterson nella seconda metà del XX secolo.
  • Le notazioni Notazione per il massimo intero non superiore a x e Notazione per il minimo intero non inferiore a x per indicare rispettivamente il massimo intero non superiore a x e il minimo intero non inferiore a x furono introdotte da Kenneth Eugene Iverson (Camrose, Canada, 17/12/1920 – Toronto, Canada, 19/10/2004) nel 1962.
  • L’unico contributo dell’informatica alla notazione matematica è il simbolo * per indicare la moltiplicazione, introdotto da John Warner Backus (Filadelfia, 3/12/1924 – Ashland, 17/3/2007) e Peter Naur nella definizione del FORTRAN (1956), in quanto era il carattere disponibile negli insiemi di caratteri in uso allora che più assomigliava al classico simbolo di moltiplicazione.

 

La tabella seguente riporta i principali simboli tuttora in uso e il periodo della loro introduzione.

Simbolo

Significato

Anno

Ideatore

°

Gradi

III secolo a.C.

 

Notazione decimale

 

263

Liu Hui

Cifra 0

Zero

876

 

.

Punto decimale 

952

al-Uqlîdisî

Linea di frazione

 

XII secolo

al-Hassar

+

Addizione

1360

Oresme

Sottrazione

1489

Widman

Simbolo per la radice quadrata

Radice quadrata

1525

Rudolff

Esponenti

Potenze

1544

Stifel

=

Uguaglianza

1557

Recorde

Notazione binaria

 

1617

Napier

×

Moltiplicazione

1618

Oughtred?

±

Più o meno

1628

Oughtred

Simbolo per la radice n-esima

Radice n-esima

1629

Girard

< e >

Minore e maggiore

1631

Harriot

Lettere dalla a per i parametri, dalla x per le incognite

Parametri e incognite

1637

Cartesio

%

Percentuale

1650

 

Infinito

1655

Wallis

÷

Divisione

1659

Pell

≤ e ≥

Minore o uguale e maggiore o uguale

1670

Wallis

Indici

 

XVII secolo

Newton e Leibniz

Notazione per la derivata

Derivata

1675

Leibniz

Simbolo per l’integrale

Integrale

1675

Leibniz

:

Divisione

1675

Leibniz

·

Moltiplicazione

1675

Leibniz

π

Rapporto tra circonferenza e diametro

1706

Jones

Diversità

XVIII secolo

Eulero

e

Base dei logaritmi naturali

XVIII secolo

Eulero

i

Unità immaginaria

XVIII secolo

Eulero

Somma

XVIII secolo

Eulero

f(x)

Funzione

XVIII secolo

Eulero

Notazione per la derivata parziale

Derivata parziale

1770

Nicolas de Caritat

f’(x) e f”(x)

Derivata prima e seconda

XVIII secolo

Lagrange

sinh e cosh

Seno e coseno iperbolici

1771

Lambert

ab mod m

a congruente a b modulo m

1801

Gauss

φ

Funzione φ

1808

Gauss

n!

Fattoriale di n

1808

Kramp

Γ

Funzione Γ

1811

Legendre

Prodotto

1812

Gauss

Inclusione di insiemi

1817

Gergonne

Notazione per i coefficienti binomiali

Coefficienti binomiali

1826

von Ettinghausen

|x|

Valore assoluto di x

1841

Weierstrass

|M|

Determinante di matrice

1841

Cayley

μ

Funzione μ (I)

1874

Mertens

?

Funzione di Minkowsky

XIX secolo

Minkowsky

O(x)

Crescita non più rapida di x moltiplicato per una costante

1884

Bachmann

Unione di insiemi

1888

Peano

Intersezione di insiemi

1888

Peano

Esclusione di insiemi

1890

Schröder

א

Numeri cardinali transfiniti

1893

Cantor

Appartenenza a un insieme

1894

Peano

Insieme dei numeri naturali

1895

Peano

Insieme dei numeri razionali

1895

Peano

{ … }

Insieme

1895

Cantor

Quantificatore esistenziale

1897

Peano

Bn

n-esimo numero di Bernoulli

1903

Peano

Disgiunzione logica

1908

Russel

o(x)

Crescita più lenta di x moltiplicato per una costante

1909

Landau

π(n)

Funzione π (I)

1909

Landau

Ω(x)

Crescita almeno come x moltiplicato per una costante

1914

Hardy

Simbolo per l’integrale di contorno

Integrale di contorno

1917

Sommerfeld

Insieme dei numeri interi

1930

Landau

Qualificatore universale

1935

Gentzen

Notazione per i numeri di Stirling di seconda specie

Numeri di Stirling di seconda specie

1935

Karamata

Insieme vuoto

1939

Weil

Insieme dei numeri complessi

1939

Jacobson

Θ(x)

Crescita almeno come x moltiplicato per una costante, ma non più di x moltiplicato per un’altra costante

Seconda metà del XX secolo

Tartan e Paterson

*

Moltiplicazione

1955

Backus e Naur

Massimo intero non superiore a x e Minimo intero non inferiore

Massimo intero non superiore a x e minimo intero non inferiore a x

1962

Iverson

 

Un capitolo storia a sé stante è quello dell’algebra, in particolare del modo di indicare le incognite e i parametri di un’equazione.

La notazione di Diofanto precorre in alcuni sensi quella moderna per le equazioni, anche se limitata a una sola incognita e alle sue potenze sino al cubo, eventualmente ripetendo i simboli per indicare potenze successive.

A parte i tentativi isolati di Diofanto e Tshu Shih Chieh di introdurre simboli per le incognite, rimasti senza seguito, l’uso di indicare parametri, costanti e variabili con lettere nasce dopo la fine del Medioevo. Nei testi antichi ogni quantità era indicata con una descrizione, rendendo estremamente pesante la notazione. Per esempio, in un testo medioevale troviamo la seguente frase per descrivere la formula dell’area del cerchio A = πr2: Multiplicatio medietatis diametri in se eius, quod proveniet, in quantitatem, in quam cum multiplicetur diameter provenit circumferentia, aequalis superficies circuli (la moltiplicazione della metà del diametro per se stessa e per quella quantità, per la quale quando si moltiplica il diametro si ottiene la circonferenza, è uguale alla superficie del cerchio). Non è solo un problema di lingua: anche leggendo la traduzione in italiano si fa nettamente più fatica ad afferrare il senso della frase, che non a capire lo stesso concetto condensato nella formula.

Nei testi latini una quantità incognita era indicata con res; nel tardo Medioevo veniva usato un simbolo, o meglio un’abbreviazione, (c o co, per cosa) per indicare l’incognita.

Analogamente il matematico indiano Bháskara nel XII secolo usò (prima sillaba di yávat-távat, cioè “quantità” in sanscrito), ma adottò una curiosa scelta per eventuali successive incognite: le prime sillabe dei nomi di colori (in sanscrito) coerente col termine colori che usava appunto per le incognite.

Bombelli propose nel XVI secolo tanti (per quantità, sottinteso sconosciuta), poi passò a una sua particolarissima notazione, nella quale l’incognita era indicata da un piccolo semicerchio, posto sotto l’esponente, cosicché scriveva Notazione di Bombelli per x^3 per x3.

 

La stessa equazione si scrive:

  • 2 Census p 4 de 3 rebus ae 0, per Luca Pacioli;
  • 2 in A quad – 3 in A plano + 3 aequatur, 0 per Viéte.
  • 2x2 – 3x + 4 = 0, per Cartesio (e per noi).

 

Il ritardo nell’introduzione di una notazione letterale per incognite e parametri è alquanto sorprendente, se si considera che l’adozione delle lettere in geometria, per indicare punti, linee e parti di piano, risale a Ippocrate di Chio (Chio, Grecia, circa 470 a.C. – Atene, circa 410 a.C.).

 

La scelta della x per rappresentare un’incognita è curiosa: nel preparare l’opera di Cartesio, lo stampatore si trovò a corto delle ultime lettere dell’alfabeto (prescelte per rappresentare le incognite) e chiese all’Autore se avesse preferenze tra x, y e z per la lettera da usare nelle equazioni che costellavano l’opera; avendo il grande matematico risposto che gli era indifferente, lo stampatore scelse la x, che è nettamente meno frequente delle altre in francese. Una banalità che ebbe grandi influssi sulla cultura mondiale, perché “x” è divenuto per antonomasia il simbolo per un’incognita o qualcosa di sconosciuto o imprecisato: se Cartesio avesse usato un’altra lingua forse oggi parleremmo di raggi K, anziché di raggi X, o un leader politico afroamericano si sarebbe chiamato Malcom Z. In fondo però “nomina sunt referentia rerum” e sarebbe cambiato il nostro modo di chiamare le cose, non la loro sostanza.

Bibliografia

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  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Bressanini, Dario;  "Tre matematici e un’equazione in rima" in Le scienze, n. 429, Maggio 2004, pag. 110.
  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Kaplan, Samuel R.;  The Nothing that is, Oxford University Press, 2000.
  • Livio, Mario;  L’equazione impossibile, Milano, BUR, 2006.
  • Mazur, Barry;  Imagining Numbers, New York, Farrar, Straus and Giroux, 2003.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  Una via di fuga, Milano, Mondadori, 2011.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Szpiro, George G.;  Kepler’s Conjecture, Hoboken, John Wiley & Sons, 2003.

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