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Eulero (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Eulero, En(x), sono definiti tramite la relazione Formula per la definizione dei polinomi di Eulero.

Sono polinomi di grado n, con coefficienti interi per n pari e razionali con denominatori dati da potenze di 2 per n dispari; il coefficiente del termine di grado massimo è 1.

Sono strettamente legati ai numeri di Eulero, perché Formula per i numeri di Eulero, e ai numeri di Springer, perché Formula per i numeri di Springer.

 

I polinomi di Eulero compaiono nella formula per le somme di potenze di interi a segni alternati: Formula per le somme di potenze di interi a segni alternati (v. formula di Faulhaber in numeri di Bernoulli).

 

Alcune tra le numerose relazioni che legano questi polinomi tra loro, ai numeri di Bernoulli e ai polinomi di Bernoulli:

Formula che coinvolge i polinomi di Eulero;

En(1 – x) = (–1)nEn(x);

En(–x) = (–1)n(2xnEn(x));

En(x + 1) + En(x) = 2xn;

Formula che coinvolge i polinomi di Eulero;

Formula che coinvolge i polinomi di Eulero;

Formula che coinvolge i polinomi di Eulero;

Formula che coinvolge i polinomi di Eulero;

Formula che coinvolge i polinomi di Eulero;

Formula che coinvolge i polinomi di Eulero, per n dispari e Formula che coinvolge i polinomi di Eulero, per n pari (Raabe 1851);

Formula che coinvolge i polinomi di Eulero;

Formula che coinvolge i polinomi di Eulero;

Formula per la derivata dei polinomi di Eulero;

Formula per l'integrale dei polinomi di Eulero;

Formula per l'integrale del prodotto di polinomi di Eulero.

 

L’unico polinomio di Eulero che abbia radici multiple è Polinomi di Eulero E5, che ha le radici doppie φ e 1 – φ.

 

La funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice dei polinomi di Eulero, ovvero Funzione generatrice dei polinomi di Eulero.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Eulero.

 

Grafico dei primi polinomi di Eulero

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Eulero.

n

En(x)

0

1

1

 Polinomio di Eulero E1

2

x2x

3

 Polinomio di Eulero E3

4

x4 – 2x3 + x

5

 Polinomio di Eulero E5

6

x6 – 3x5 + 5x3 – 3x

7

 Polinomio di Eulero E7

8

x8 – 4x7 + 14x5 – 28x3 + 17x

9

 Polinomio di Eulero E9

10

x10 – 5x9 + 30x7 – 126x5 + 255x3 – 155x

11

 Polinomio di Eulero E11

12

x12 – 6x11 + 55x9 – 396x7 + 1683x5 – 3410x3 + 2073x

13

 Polinomio di Eulero E13

14

x14 – 7x13 + 91x11 – 1001x9 + 7293x7 – 31031x5 + 62881x3 – 38227x

15

 Polinomio di Eulero E15

16

x16 – 8x15 + 140x13 – 2184x11 + 24310x9 – 177320x7 + 754572x5 – 1529080x3 + 929569x

17

 Polinomio di Eulero E17

18

x18 – 9x17 + 204x15 – 4284x13 + 67626x11 – 753610x9 + 5497596x7 – 23394924x5 + 47408019x3 – 28820619x

19

 Polinomio di Eulero E19

20

x20 – 10x19 + 285x17 – 7752x15 + 164730x13 – 2603380x11 + 29015090x9 – 211668360x7 + 900752361x5 – 1825305870x3 + 1109652905x

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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