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Brier (numeri di)

Teoria dei numeri 

Sono i numeri che sono contemporaneamente numeri di Riesel e di Sierpiński, cioè numeri naturali dispari k tali che k2n – 1 e k2n + 1 sono composti per qualsiasi valore di n.

 

Eric Brier scoprì il primo, 29364695660123543278115025405114452910889, nel 1998, dimostrando anche che sono infiniti. Si aprì quindi la caccia ad altri esempi e soprattutto al minimo numero di Brier.

 

Nel 2000 Yves Gallot dimostrò che se S1 e S2 sono due insiemi di primi che permettono di dimostrare che un numero è di Riesel e un altro di Sierpiński e i due insiemi hanno in comune solo 3, la loro unione permette di dimostrare che un altro numero è di Brier.

 

I numeri di Brier oggi noti sono (dopo i numeri sono riportati i due insiemi utilizzati per dimostrare che il numero è un numero di Brier tramite la tecnica di Gallot):

  • 3316923598096294713661, { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 673 } e { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 73, 109, 151, 331, 1321 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 10439679896374780276373, { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 257 } e { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 11615103277955704975673;

  • 12607110588854501953787, { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 257 } e { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 17855036657007596110949;

  • 21444598169181578466233, { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 257 } e { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 28960674973436106391349, { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } e { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 257 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 32099522445515872473461, { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } e { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 257 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 32904995562220857573541;

  • 43262598580503239091589, { 3, 5, 17, 97, 241, 257, 673 } e { 3, 7, 11, 13, 19, 31, 37, 41, 61, 151, 331 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 50500982247079839441193, {3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } e { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 257 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 55465536577115049124007, { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 673 } e { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 76719416286801468925067, { 3, 5, 17, 13, 241, 97, 257 } e { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 88595984169672153528691, { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 257 } e { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 92348240410439475192041, { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } e { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 257 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 105404490005793363299729, { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } e { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 673 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 107711321583468432196343, { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 673 } e { 61, 41, 11, 31, 151, 331, 37, 109, 73, 19, 7, 3 } (Christophe Clavier, 2013);

  • 143665583045350793098657, { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 257 } e { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 61, 73, 109, 151, 331, 1321 } (Michael Filaseta, Carrie Finch e Mark Kozek, 2007);

  • 1547374756499590486317191;

  • 3127894363368981760543181;

  • 3780564951798029783879299;

  • 47867742232066880047611079, { 3, 7, 11, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 331 } e { 3, 5, 13, 17, 97, 241, 257 };
  • 878503122374924101526292469, { 3, 5, 11, 17, 31, 41, 61, 151, 331, 61681 } e { 3, 7, 13, 19, 37, 73, 97, 109, 241, 257 } (Yves Gallot, 2000);

  • 3872639446526560168555701047, { 3, 7, 13, 19, 37, 73, 97, 241, 673 } e { 3, 5, 11, 17, 31, 41, 61, 151, 331, 61681} (Yves Gallot, 2000);

  • 623506356601958507977841221247, { 3, 7, 13, 19, 37, 73, 97, 109, 241, 673 } e { 3, 5, 17, 257, 641,65537, 6700417 } (Yves Gallot, 2000);

  • 29364695660123543278115025405114452910889, { 3, 5, 17, 97, 193, 257, 673, 65537 } e { 3, 7, 13, 19, 37, 73, 109, 241, 433, 577, 1153, 6337, 38737 } (Eric Brier, 1998).

 

Non è noto se vi sia un numero di Brier minore di quelli riportati; Arkadiusz Wesolowski dimostrò nel 2009 che non ve ne sono inferiori al miliardo.

 

Da ciascun numero di Brier si può ottenere una progressione aritmetica infinita di numeri di Brier.

 

William Banks, Carrie Finch, Florian Luca, Carl Pomerance e Pantelimon Stănică dimostrarono che per n abbastanza grande, almeno Radice quinta di n degli interi inferiori a n sono contemporaneamente numeri di Riesel, di Sierpiński e di Carmichael.

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