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Riesel (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Riesel” gli interi positivi dispari k tali che k2n – 1 sia composto per qualsiasi valore intero positivo di n.

 

Il matematico svedese Hans Riesel dimostrò nel 1956 che esistono infiniti numeri con questa proprietà (in particolare tutti i numeri della forma 509203 + 11184810n); se ne conoscono 6707535 inferiori a 1013, il minimo dei quali è 509203.

 

Un problema aperto è se questo sia effettivamente il minimo numero di Riesel: il lavoro di molti matematici (e di moltissimi calcolatori) ha permesso di escludere quasi tutti i numeri inferiori. Al momento restano da escludere 52 candidati, per tutti i quali sono stati esaminati gli esponenti sino a 7175700 senza trovare numeri primi: 2293, 9221, 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 146561, 161669, 192971, 206039, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 273809, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 351134, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 478214, 485557 e 494743.

 

Nel 1979 Erdös e Odlyzko dimostrarono che esistono infiniti interi non di Riesel (v. numeri di Proth).

 

I numeri di Riesel noti inferiori a 106 sono: 509203, 762701, 777149, 790841 e 992077; potrebbero essercene altri.

Qui trovate i numeri di Riesel noti inferiori a 109 (Pierre CAMI e Arkadiusz Wesolowski, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org).

 

E’ possibile dimostrare che un intero k è un numero di Riesel trovando un insieme di primi tali che si possa dimostrare che ogni intero della forma k2n – 1 sia divisibile per almeno uno di essi. In particolare per k uguale a 509203, 762701, 992077 e tutti i numeri della forma 509203 + 11184810n l’insieme è { 3, 5, 7, 13, 17, 241 } e per k uguale a 777149 e 790841 l’insieme è { 3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }. Per ogni insieme del genere si ottiene una progressione aritmetica infinita di numeri di Riesel.

Ognuno di tali insiemi permette anche di dimostrare che un intero (in generale diverso) è un numero di Sierpiński.

 

In altri casi si dimostra che un numero è un numero di Riesel trovando un insieme di primi che divide k2n + 1 per alcuni valori di n e una scomposizione per i restanti. Per esempio, 15185403322323921315363059221894499813326933057733071440861144571601117057698737700140317416496481 = 38968453038738811751593146208088870460669724698092 è un numero di Riesel perché l’insieme { 7, 17, 31, 41, 71, 97, 113, 127, 151, 241, 257, 281, 337, 641, 673, 1321, 14449, 29191, 65537, 6700417 } garantisce la divisibilità, se n è dispari, mentre per n pari n = 2m e 3896845303873881175159314620808887046066972469809 • 2m + 1 divide k2n – 1.

 

Dimostrazioni analoghe valgono anche per particolari categorie di primi: per infiniti valori di k, k2n + 1 e k2n + 1 + 1 non costituiscono mai una coppia di primi di Sophie Germain.

I primi interi noti con questa proprietà sono: 32469 (Wilfrid Keller, 2004, con l’insieme { 5, 7, 13, 19, 37, 73 }), 42717 (Wilfrid Keller, 2004, con l’insieme { 5, 7, 13, 17, 241 }, 45009 (Wilfird Keller, 2004, con l’insieme { 5, 7, 13, 19, 37, 73 }), 57669 (Wilfrid Keller, 2004, con l’insieme { 5, 7, 13, 37, 73, 109 }), 64377 (Wilfrid Keller, 2004, con l’insieme { 5, 7, 13, 17, 241 }), 64893 (Wilfrid Keller, 2004, con l’insieme { 5, 7, 13, 17, 241 }), 66741 (Yves Gallot), 76389, 78363, 81723, 95259, 95283, 165567, 203811, 216627, 218193, 218949, 240819, 255153, 272523, 282147, 308481, 317841, 324981, 327879, 338733, 347289, 355479, 359847, 364383, 414417, 424917, 425829, 433107 (Arkadiusz Wesolowski, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org). Per dimostrare che 32469 è il minimo, restano da escludere circa 1500 interi, il minimo dei quali è 51.

 

Per quasi mezzo secolo sono stati conosciuti solo numeri di Riesel multipli di 3; l’opinione prevalente era che esistessero anche numeri di Riesel non multipli di 3, ma che fossero enormi. Infatti nel 2004 Wilfrid Keller dimostrò che 3674515543532961928874271620966553 è un numero di Riesel non multiplo di 3, grazie all’insieme { 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 97, 109, 151, 181, 241, 257, 331, 673 } e la stessa proprietà vale per tutti i numeri della forma 3674515543532961928874271620966553 + 8098504028425981183736114374652670m.

Si aprì quindi la caccia al minimo numero del genere e sempre nel 2004 Thomas Masser dimostrò che 5785418219844359742627 ha la stessa proprietà, grazie all’insieme { 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 241, 331 }. Arkadiusz Wesolowski migliorò nel 2010 il record con 1636996998454706441457, grazie all’insieme { 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 41, 61, 73, 109, 151, 241, 331 }.

Da ogni numero del genere si ricava una progressione aritmetica infinita di interi con la stessa proprietà, della forma k0 + 6Pm, dove k0 è il numero e P è il prodotto dei primi dell’insieme che permette di dimostrarne la proprietà.

 

Nel 2007 Michael Filaseta, Carrie Finch e Mark Kozekchen dimostrarono che esistono infiniti quadrati che sono numeri di Riesel, perché tali sono tutti i numeri della forma (38968453038738811751593146208088870460669724698092  + 2794789825832388197218264652184290186627445374409052562m)2, il minimo dei quali è 38968453038738811751593146208088870460669724698092 = 15185403322323921315363059221894499813326933057733071440861144571601117057698737700140317416496481. La dimostrazione si basa sull’insieme di primi { 7, 17, 31, 41, 71, 97, 113, 127, 151, 241, 257, 281, 337, 641, 673, 1321, 14449, 29191, 65537, 6700417 } e sul fatto che per n = 2m pari, k22n – 1 si scompone come (k2m + 1)(k2m – 1).

Secondo i tre matematici potrebbe non esistere un insieme finito di primi che permetta di dimostrare che numeri di questo genere sono numeri di Riesel, senza ricorrere a scomposizioni come quella mostrata.

I tre matematici dimostrarono anche che esiste un insieme infinito di interi, contenente 1, con densità asintotica maggiore di zero, tale che per ogni r appartenente all’insieme esistono infiniti biquadrati k tali che kr è un numero di Riesel e tali che kr2n – 1 ha almeno due fattori primi distinti per ogni valore di n. La stessa affermazione inoltre vale, con un diverso insieme sempre contenente 1, se si sostituiscono ai biquadrati le seste potenze.

 

Esistono infiniti numeri che sono sia numeri di Riesel, sia numeri di Sierpiński, detti “numeri di Brier”.

 

Florian Luca e V.J. Mejía Huguet dimostrarono nel 2008 che vi sono infiniti numeri di Riesel tra i numeri di Fibonacci e più precisamente Fk è un numero di Riesel se k diviso 3543120 dà resto 947887, 1735247, 1807873 o 2595233.

 

Daniel Baczkowski, Olaolu Fasoranti e Carrie E. Finch dimostrarono che vi sono infiniti numeri di Riesel tra i numeri di Lucas e più precisamente Lk è un numero di Riesel se k diviso 55716312432816 dà resto 17304307932583, 19044893268919, 20236745429047, 21977330765383, 23580842262103, 25321427598439, 26513279758567, 28253865094903, 38386155880135, 40126741216471, 41318593376599, 43059178712935, 44662690209655, 46403275545991, 47595127706119 o 49335713042455.

 

Tra le generalizzazioni, si è provato a sostituire altri interi a 2; nel caso di 5, il minimo numero di Riesel noto è 346802, vale a dire che 346802 • 5n – 1 è composto per tutti i valori di n, come dimostrò nel 2004 Robert Smith utilizzando i primi { 3, 7, 13, 31, 601 }. Per dimostrare che non vi sono interi minori con la stessa proprietà restano da escludere i seguenti 82 candidati: 3622, 4906, 22478, 23906, 26222, 35248, 35816, 52922, 53546, 63838, 64598, 66916, 68132, 71146, 76354, 81134, 88444, 92936, 100186, 102818, 102952, 109238, 109838, 109862, 127174, 131848, 134266, 136804, 138172, 143632, 145462, 145484, 146264, 146756, 147844, 151042, 152428, 154844, 159388, 164852, 170386, 170908, 171362, 177742, 180062, 182398, 187916, 189766, 190334, 194368, 195872, 201778, 204394, 206894, 207494, 213988, 231674, 238694, 239062, 239342, 246238, 248546, 259072, 265702, 267298, 271162, 273662, 285598, 285728, 296024, 298442, 301562, 304004, 306398, 313126, 318278, 322498, 325918, 325922, 327926, 335414, 338866.

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