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Koebe (costante di)

Analisi 

La costante di Koebe è definita come la costante di Bloch – Landau univalente, ma considerando l’estremo superiore k(f) dei raggi dei cerchi contenuti in f(D) con centro nell’origine.

In altre parole, per ogni funzione f complessa, analitica, uno a uno, definita in una regione del piano complesso contenente almeno il disco D di raggio 1 centrato sull’origine, nulla nell’origine e con derivata uguale a 1 nell’origine, l’immagine di D deve contenere almeno un cerchio di raggio k(f)centrato nell’origine.

 

La costante di Koebe è l’estremo inferiore dei valori di k(f). Il matematico tedesco Paul Koebe (15/2/1882 – Lipsia, 6/8/1945) ne provò l’esistenza nel 1907 e nel 1916 Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach (Goddelau, Germania, 4/12/1886 – 1/9/1982) dimostrò la supposizione di Koebe, cioè che la costante vale Un quarto.

La funzione che raggiunge il valore estremo di k(f) è la funzione di Koebe Formula per la definizione della funzione di Koebe, perché f(D) non contiene il punto z = –1 / 4; una proprietà analoga vale per le funzioni di Koebe ruotate Formula per la definizione delle funzioni di Koebe ruotate.

 

Non si può definire una costante analoga alle costanti di Bloch e di Landau per funzioni non univalenti, perché le funzioni Funzioni che non producono valori arbitrariamente vicini all'origine, per n grande a piacere, soddisfano tutte le ipotesi, ma non producono il valore z = –1 / n, quindi il cerchio centrato sull’origine può essere reso piccolo a piacere e l’estremo inferiore dei valori è semplicemente zero.

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