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Superabbondanti (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “superabbondanti” i numeri naturali n per i quali σ(n) / n è maggiore rispetto a tutti i numeri inferiori, quelli per i quali σ(n) / n è minore rispetto a tutti i numeri inferiori sono i numeri primi.

 

Il termine superabbondante si deve a Leonidas Alaoglu e Paul Erdös, che nel 1944 dimostrarono che:

  • ciascuno è uguale al precedente moltiplicato per un numero primo o per il rapporto tra due numeri primi;

  • il rapporto tra numeri superabbondanti consecutivi non supera 2 e tende a 1;

  • gli esponenti dei fattori primi nella scomposizione di un numero superabbondante sono sempre non crescenti;

  • l’esponente del massimo fattore primo di un numero superabbondante è 1, tranne nel caso di 4 e 36;

  • se p e q sono fattori primi di un numero superabbondante n, con q < p, e k è l’esponente di q nella scomposizione di n, definendo Formula per la definizione di β, l’esponente di p nella scomposizione di n è β – 1, β o β + 1 e se p è il massimo fattore primo di n, log(p) / log(q) < k;

  • i numeri superabbondanti minori di n sono meno di c * log(n) * log(log(n)) / log(log((log(n)))^2, per una costante positiva c;

 

Nel 1975 Erdös e J.-L. Nicolas dimostrarono che i numeri superabbondanti minori di n sono più di log1 + dx, per d < 5 / 48.

 

Ramanujan aveva lavorato su questi numeri 30 anni prima, chiamandoli “altamente composti generalizzati”, ma i suoi lavori furono ritrovati soltanto molto tempo dopo e pubblicati solo nel 1997.

 

I numeri superabbondanti sono infiniti; quelli inferiori a 109 sono: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 10080, 15120, 25200, 27720, 55440, 110880, 166320, 277200, 332640, 554400, 665280, 720720, 1441440, 2162160, 3603600, 4324320, 7207200, 8648640, 10810800, 21621600, 36756720, 61261200, 73513440, 122522400, 147026880, 183783600, 367567200, 698377680, 735134400.

 

E’ normale che un numero superabbondante abbia molti divisori e infatti i primi 19 sono anche i primi numeri altamente composti; il successivo altamente composto, 7560, non è però superabbondante.

 

Tutti i numeri superabbondanti sono altamente abbondanti.

 

Se p è il massimo primo che divide un numero superabbondante n, ψ(p) ≤ logn, dove ψ(n) è la seconda funzione di Chebyshev, e Limite per n tendente a infinito di ψ(p) / n uguale a 1 (Sadegh Nazardonyavi e Semyon Yakubovich, 2014).

 

Il valore di σ(n) / n può diventare arbitrariamente grande, tuttavia anche per valori relativamente piccoli n deve essere enorme: il minimo intero n pari tale che σ(n) > 9n ha almeno 55 fattori primi distinti.

 

I numeri superabbondanti sono anche legati all’ipotesi di Riemann, perché questa è equivalente all’affermazione che σ(n) < eγnloglogn, tranne per un numero finito di eccezioni, la massima delle quali è 5040 (Guy Robin, 1984). Il minimo controesempio, se esiste, deve infatti essere un numero superabbondante (Amir Akbary e Zachary Friggstad, 2009).

 

Molti numeri superabbondanti sono numeri harshad, ma non tutti: la prima eccezione è il 105° numero superabbondante, 149602080797769600.

Bibliografia

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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