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Harshad (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

I numeri harshad sono i numeri naturali divisibili per la somma delle loro cifre, come 24; il termine deriva da una parola in sanscrito che significa felicità.

Questi numeri sono anche detti anche “numeri di Niven”, dal nome del matematico Ivan Morton Niven (25/10/1915 – Eugene, Oregon, 9/5/1999) o “numeri multidigitali”.

 

Furono definiti e studiati dal matematico indiano Dattatraya Ramchandra Kaprekar (v. anche costante di Kaprekar).

 

I numeri harshad minori di 1000 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204, 207, 209, 210, 216, 220, 222, 224, 225, 228, 230, 234, 240, 243, 247, 252, 261, 264, 266, 270, 280, 285, 288, 300, 306, 308, 312, 315, 320, 322, 324, 330, 333, 336, 342, 351, 360, 364, 370, 372, 375, 378, 392, 396, 399, 400, 402, 405, 407, 408, 410, 414, 420, 423, 432, 440, 441, 444, 448, 450, 460, 465, 468, 476, 480, 481, 486, 500, 504, 506, 510, 511, 512, 513, 516, 518, 522, 531, 540, 550, 552, 555, 558, 576, 588, 592, 594, 600, 603, 605, 612, 621, 624, 629, 630, 640, 644, 645, 648, 660, 666, 684, 690, 700, 702, 704, 711, 715, 720, 730, 732, 735, 736, 738, 756, 770, 774, 777, 780, 782, 792, 800, 801, 803, 804, 810, 820, 825, 828, 832, 840, 846, 864, 870, 874, 880, 882, 888, 900, 902, 910, 912, 915, 918, 935, 936, 954, 960, 966, 972, 990, 999.

Qui trovate i numeri harshad fino a 105 (N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Sono infiniti in qualsiasi base; in particolare in base b qualsiasi numero con somma delle cifre uguale a b – 1 o a un suo divisore è un numero harshad. In base 10 sono quindi numeri harshad i numeri con somma delle cifre 3 o 9, come 110003301.

Sono inoltre numeri harshad in base b:

  • tutti i numeri minori di b, scritti con una sola cifra;

  • i numeri della forma nbk, con n numero harshad in base b e in particolare tutti i numeri formati da una sola cifra, seguita da un numero arbitrario di zeri;

  • i numeri della forma nbm + bk, con n < b, m > k e, se la base è pari, k > 0, ossia scritti con una cifra seguita da un qualsiasi numero di zeri, un 1 e altri zeri a piacere.

 

Solo 1, 2, 4 e 6 sono numeri harshad in qualsiasi base.

 

Curtis N. Cooper e Robert E. Kennedy dimostrarono che in base 10 non esistono più di 20 numeri harshad consecutivi, mentre esistono infinite sequenze di 20. Non posso riportare la minima sequenza indicata dai due, in quanto servirebbe un’intera biblioteca: è formata da numeri di 44363342786 cifre.

Nel 1994 H.G. Grundman generalizzò il teorema, dimostrando che in base b non esistono più di 2b numeri harshad consecutivi, mentre esistono sequenze di lunghezza 2b.

Nel 1996 T. Cai dimnostrò che esistono infinite sequenze di lunghezza 4 in base 2 e di lunghezza 6 in base 3.

Nel 1997 Wilson dimostrò che in base b esistono infinite sequenze di lunghezza 2b. In generale una sequenza del genere comprende i numeri da nbkb a nbk + b – 1, per opportuni valori di n e k. Aggiungendo zeri in posizione opportuna, si ottengono infinite sequenze.

 

La tabella seguente mostra il primo numero della minima sequenza di esattamente n numeri harshad consecutivi in base 10 (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Primo intero della minima sequenza di esattamente n numeri harshad consecutivi

Scopritore

1

12

 

2

20

 

3

110

 

4

510

 

5

131052

 

6

12751220

 

7

10000095

 

8

2162049150

Jud McCranie, 2001

9

124324220

 

10

1

 

11

920067411130599

Giovanni Resta, 2008

12

43494229746440272890

Giovanni Resta, 2008

13

12100324200007455010742303399999999999999999990

Giovanni Resta, 2008

14

4201420328711160916072939999999999999999999999999999999999999996

Max Alexseyev, 2013

15

?

 

16

50757686696033684694106416498959861492 • 10280 – 9

Max Alexseyev, 2013

17

14107593985876801556467795907102490773681 • 10280 – 10

Max Alexseyev, 2013

 

Nel 2008 J.M. De Koninck, N. Doyon e I. Kátai trovarono formule asintotiche per il numero di sequenze di numeri harshad consecutivi di lunghezza da 2 a 20 (in base 10), dimostrando quindi che tali sequenze sono infinite.

 

Curtis N. Cooper e Robert E. Kennedy dimostrarono nel 1984 che la densità asintotica dei numeri harshad è nulla.

 

Nel 2008 J.M. De Koninck e N. Doyon dimostrarono che per n abbastanza grande i numeri harshad in base 10 non superiori a n sono meno di Limite superiore per il numero di numeri Harshad in base 10 non superiori a n, ma più di n1 – ε, per qualsiasi valore di ε maggiore di zero.

Nello stesso anno 2008 J.M. De Koninck, N. Doyon e I. Kátai dimostrarono che il numero di interi harshad in base 10 non superiori a n cresce come Crescita asintotica del numero di numeri Harshad in base 10 non superiori a n.

 

Un numero harshad è primo se e solo se è inferiore alla base.

 

Molti fattoriali sono numeri harshad, ma non tutti; in base 10 la prima eccezione è 432!.

 

Per qualsiasi esponente esistono infiniti numeri harshad che sono potenze; in base 10 i primi sono: 1, 4, 8, 9, 27, 36, 81, 100, 144, 216, 225, 243, 324, 400, 441, 512, 576, 900, 1000, 1296, 1521, 1728, 1764, 2025, 2304, 2401, 2601, 2704, 2916, 3600, 3969, 4225, 4356, 4624, 4913, 5184, 5832, 6084, 6400, 7056, 7744, 7776, 8000, 8100, 9216, 10000, 10404.

 

In base 10 si possono ottenere infiniti numeri harshad palindromi a partire da un’unità ripetuta Rn, con n = 3k, moltiplicandola per un numero harshad palindromo con somma delle cifre 9; per esempio, partendo da 252 e moltiplicando per 111 si ottiene 27972. A partire da questo numero se ne possono poi ottenere altri, concatenando un numero di copie pari a un divisore del numero ottenuto, che sia primo rispetto a Rn, intervallate da zeri (simmetrici) a piacere; per esempio, dato che 4 divide 27972 ed è primo rispetto a 111, da 27972 si può ottenere 279720027972000279720027972.

 

Vi sono numeri harshad che divisi per la somma delle loro cifre producono un nuovo numero harshad e così via, sino a restare con un numero di una sola cifra. Per esempio, 8748 diviso per la somma delle sue cifre dà 324, che diviso per la somma delle sue cifre dà 36, che diviso per la somma delle sue cifre dà 4.

Nel 2014 Hans Havermann e Ray Chandler dimostrarono che sono in tutto 15095, il massimo dei quali è un numero di 1434 cifre.

Quelli inferiori a 106 in base 10 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 18, 21, 24, 27, 36, 42, 45, 48, 54, 63, 72, 81, 84, 108, 162, 216, 243, 324, 378, 405, 432, 486, 648, 756, 864, 972, 1296, 1458, 1944, 2916, 3402, 4374, 5832, 6804, 7290, 8748, 11664, 13122, 13608, 15552, 17496, 23328, 26244, 34992, 39366, 52488, 61236, 69984, 78732, 91854, 118098, 122472, 157464, 183708, 196830, 236196, 314928, 354294, 367416, 419904, 472392, 559872, 629856, 839808, 944784 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate i numeri del genere inferiori a 1015 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Esistono infiniti numeri che sono contemporaneamente numeri harshad e di Smith.

 

Carlos Rivera dimostrò nel 2004 che i numeri harshad troncabili a destra, cioè tali che rimuovendo ripetutamente l’ultima cifra si ottiene un nuovo numero harshad, sino a restare con un numero di una sola cifra sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 18, 21, 24, 27, 36, 42, 45, 48, 54, 63, 72, 81, 84, 126, 216, 243, 247, 364, 423, 481, 486, 846, 2478, 8463, 2478.

Carlos Rivera, Jon Wharf, J van Delden e Farideh Firoozbakht dimostrarono che i numeri harshad privi di zeri e troncabili a sinistra, cioè tali che rimuovendo ripetutamente la prima cifra si ottiene un nuovo numero harshad, sino a restare con un numero di una sola cifra sono in tutto 3603, il massimo dei quali è 364884399636934134242462112.

Quelli minori di 1000 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 18, 21, 24, 27, 36, 42, 45, 48, 54, 63, 72, 81, 84, 112, 224, 312, 324, 336, 342, 372, 448, 481, 512, 518, 612, 621, 624, 645, 648, 684, 736, 912, 918, 936, 954, 972.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Cai, T.;  "On 2-Niven Numbers and 3-Niven Numbers" in Fibonacci Quarterly, n. 34, pag. 118 – 120, 1996.
  • Costello, Patrick J.;  "More Palindromic Niven Numbers" in Journal of Recreational Mathematics, vol. 33, n. 1, pag. 18 – 21.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • De Koninck, Jean-Marie;  Doyon, N.;  Kátai, I.;  "Counting the number of twin Niven numbers" in Ramanujan Journal, vol. 17, n. 1, pag. 89 – 105, 2008.
  • Grundman, H.G.;  "Sequences of Consecutive n-Niven Numbers" in Fibonacci Quarterly, n. 32, pag. 174 – 175, 1994.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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