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Landau (costante di)

Analisi 

Data una funzione f complessa analitica, definita in una regione del piano complesso contenente almeno il disco D di raggio 1 centrato sull’origine, nulla nell’origine e con derivata uguale a 1 nell’origine, definiamo l(f) come l’estremo superiore dei raggi dei cerchi contenuti in f(D).

 

La costante di Landau L, detta anche “costante di Bloch – Landau”, è definita come l’estremo inferiore dei valori di l(f).

In altri termini, l(f) è il raggio del massimo cerchio, privato della circonferenza, contenuto nell’immagine di D e L è il minimo possibile di tali massimi, considerando tutte le funzioni che abbiano le caratteristiche richieste.

Questo equivale a dire che per tutte le funzioni con tali caratteristiche, l’immagine di D deve contenere almeno un cerchio di raggio L.

Dalla definizione è evidente che è almeno pari alla costante di Bloch.

 

Robinson nel 1938 e indipendentemente H. Rademacher nel 1943 dimostrarono che Limiti inferiore e superiore per il valore della costante di Landau e supposero che la costante sia uguale al limite superiore.

Come per la costante di Bloch, è stato necessario oltre mezzo secolo per un microscopico miglioramento di questi limiti: nel 1995 H. Yanagihara dimostrò, infatti, che Limite inferiore per il valore della costante di Landau.

 

Robert Rettinger pubblicò nel 2012 un algoritmo per calcolare la costante con precisione arbitraria, ma dato che il tempo di calcolo cresce in maniera doppiamente esponenziale rispetto alla precisione richiesta, per ora l’algoritmo resta di interesse puramente teorico.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni del limite superiore del valore della costante.

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