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Bloch (costante di)

Analisi 

Data una funzione f complessa analitica, definita in una regione del piano complesso contenente almeno il disco D di raggio 1 centrato sull’origine, nulla nell’origine e con derivata uguale a 1 nell’origine, definiamo b(f) come l’estremo superiore di tutti i numeri r tali che la funzione contiene una regione S di D dove è uno a uno e f(S) contiene un cerchio di raggio r.

 

La costante di Bloch B è definita come l’estremo inferiore dei valori di b(f).

 

In altri termini, S è una regione contenuta in D nella quale la funzione produce valori diversi per argomenti diversi, b(f) è il raggio del massimo cerchio, privato della circonferenza, contenuto nell’immagine di S e B è il minimo possibile di tali massimi, considerando tutte le funzioni che abbiano le caratteristiche richieste.

Questo equivale a dire che per tutte le funzioni con tali caratteristiche, deve esserci almeno un cerchio, contenuto in D, nel quale producono valori diversi per argomenti diversi e B è il minimo possibile raggio di tali cerchi.

Il nome le venne dato in onore di André Bloch (Besançon, Francia, 20/11/1893 – Saint-Maurice, Francia, 11/10/1948), che nel 1925 (mentre era ricoverato in un ospedale psichiatrico) dimostrò che Limite inferiore della costante di Block. Altri matematici dimostrarono in seguito che Limiti per la costante di Block. Lars Valerian Ahlfors e Helmut Grunsky, autori della dimostrazione del limite superiore nel 1937, supposero che il valore della costante sia uguale appunto a tale limite.

 

Una misura di quanto possano essere talvolta lenti i progressi della matematica possiamo averla dal fatto che è stato necessario circa mezzo secolo per riuscire a migliorare questi limiti di un’inezia: nel 1990 M. Bonk dimostrò che Limite inferiore della costante di Block e nel 1996 H. Chen e P.M. Gauthier dimostrarono che Limite inferiore della costante di Block.

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