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La funzione Lx è l’estensione dei numeri di Lucas (I) a indici reali, i cui valori coincidono con essi per x intero e preservano la proprietà Lx = Lx – 1 + Lx – 2.

La funzione è definita comeFormula per l'estensione della definizione dei numeri di Lucas.

La funzione può anche essere espressa come:

  • Lx = φx + cos(πx)(φ – 1)x;
  • Lx = (cos(πx) + 1)cosh(xlogφ) – (cos(πx) – 1)sinh(xlogφ);
  • Formula per il calcolo della funzione L;
  • Formula per il calcolo della funzione L.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione Lx.

 

Grafico della funzione L

 

La funzione è positiva per x ≥ 0 e tende a infinito per x tendente a infinito.

E’ sempre crescente per x maggiore di circa 0.8411278139 e ha il flesso con x massimo per x ≈ 2.3337279279; per x maggiore di tale valore la funzione è positiva, crescente e concava.

 

La funzione ha infiniti zeri, tutti con x ≤ 0, corrispondenti alle soluzioni dell’equazione φ2x = –cosπx.

 

La tabella seguente mostra i valori approssimati dei 10 massimi zeri della funzione.

–0.6749174256

–1.4177555997

–2.5279755153

–3.4889170133

–4.5041709065

–5.4983980185

–6.5006105987

–7.4997665827

–8.5000891298

–9.4999659514

 

La derivata n-esima è Derivata n-esima della funzione L o equivalentemente Derivata n-esima della funzione L, e in particolare Derivata della funzione L, e l’integrale indefinito è Integrale della funzione L.

 

La funzione è positiva per x ≥ 0 e tende a infinito per x tendente a infinito.

E’ sempre crescente per x maggiore di circa 1.6766883726 e ha il flesso con x massimo per x ≈ 3.2314073576; per x maggiore di tale valore la funzione è positiva, crescente e concava.

 

Partendo dalla formula Formula per i numeri di Lucas è stata considerata l’estensione analitica dei numeri di Lucas al piano complesso, tramite una funzione definita come Funzione per l'estensione dei numeri di Lucas al piano complesso, che può anche essere espressa come Formula per il calcolo della funzione l.

 

La funzione non è periodica e gli unici argomenti reali per i quali assuma valore intero sono gli interi, per i quali vale f(n) = Fn e l(n) = Ln.

Per x reale la parte reale di l(x) coincide con Lx; vale inoltre la relazione l(x) = l(x).

 

La funzione l(z) si annulla solo per Zeri della funzione l, per k intero.

 

Le funzioni f(z) (v. funzione Fx) e l(z) soddisfano numerose identità, analoghe a quelle dei numeri di Fibonacci e Lucas:

  • l(z) = l(z – 1) + l(z – 2);
  • Identità soddisfatta dalla funzione l;
  • Identità soddisfatta dalle funzioni f e l;
  • Identità soddisfatta dalle funzioni f e l;
  • l(–z) = l(z)e–iπz;
  • Identità soddisfatta dalle funzioni f e l;
  • l(z + 2) = l(z + 1) + l(z);
  • f(2z) = f(z)l(z);
  • l(2z) = 3l(2z – 2) – l(2z – 4);
  • Identità soddisfatta dalla funzione l;
  • Identità soddisfatta dalla funzione l;
  • l(nz) = l(n)l(n(z – 1)) – (–1)nl(n(z – 2));
  • l(z)2 = 5f(z)2 + 4ez;
  • l(z)2 = l(z + 1)l(z – 1) + 5cos(πz).

 

Tramite espansione in serie di Taylor si ottiene la formula Espansione della funzione l in serie di Taylor, che sostituendo z = n, w = n – 1 e z = n, w = 0, ci fornisce un’altra stupefacente formula: Formula per i numeri di Lucas, che equivale alla formula che definisce Lx.

 

La soluzione dell’equazione differenziale y”’ + y”logφ + (π2 – log2φ)y’ = logφ(π2 + log2φ)y è c1Fx + c2Lx + c3φxsin(πx), con c1, c2 e c3 costanti da determinare.

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