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Hirmer (congettura di)

Congetture  Geometria  Vari 

La congettura di proposta da Hirmer nel 1931 Riguarda il piazzamento di cerchi lungo una circonferenza.

Supponiamo di disporre cerchi di raggio r con i centri lungo una circonferenza di raggio R, iniziando da un punto qualsiasi e mettendo ogni cerchio a un angolo ψ = 2π(2 – φ) ≈ 2.3999632297 (corrispondente a circa 137° 30’ 27.951”) dal precedente, come mostra la figura seguente.

 

A un certo punto un cerchio si sovrapporrà a uno dei precedenti; la congettura di Hirmer afferma che il numero di cerchi che si possono piazzare senza sovrapposizioni è un numero di Fibonacci, per qualsiasi valore del rapporto tra r e R.

 

La congettura fu suggerita dalla botanica; sembra che foglie successive lungo uno stelo tendono a spuntare ciascuna con un angolo ψ rispetto alla precedente; Hirmer osservò che in questo modo si riducono le sovrapposizioni, che fanno utilizzare in modo inefficiente le foglie stesse. Se lo sviluppo dei fiori è guidato allo stesso modo, si spiega perché moltissimi abbiano un numero di petali che è un numero di Fibonacci.

 

Nel 1994 J. Battjes suffragò la congettura con simulazioni al calcolatore.

 

Roger V. Jean e Denis Barab dimostrarono la congettura nel 1998.

Vedi anche

Numeri di Fibonacci.

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