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x

Funzioni 

La funzione indicata come ⟨x⟩, è l’intero più vicino a x, spesso indicato anche come round(x).

La funzione è anche chiamata round(x).

Nel 1988 J. Hastad suggerì la notazione ⌊x⌉, non è ancora universalmente accettata.

 

La figura seguente mostra parte del grafico della funzione .

 

Grafico della funzione ⟨x⟩

 

 

Formalmente si può definire la funzione in questo modo: Formula per la definizione della funzione ⟨x⟩. Il problema è se arrotondare 1 / 2 in eccesso o in difetto; con questa definizione ⟨1 / 2⟩ = 1, che è la convenzione più seguita; in realtà nella stragrande maggioranza dei casi pratici l’argomento è irrazionale e il problema non sussiste. Alcuni preferiscono però una definizione leggermente più complicata: ⟨(4 * n + 1) / 2⟩ = 2 * n e ⟨(4 * n + 3) / 2⟩ = 2 * n + 2, per n intero, in modo che in metà dei casi l’arrotondamento sia in eccesso e nell’altra metà in difetto.

La definizione può essere estesa ai numeri complessi tramite la formula ⟨x + iy⟩ = ⟨x⟩ + i⟨y⟩.

 

Alcune proprietà:

⟨–x⟩ = –⟨x⟩;

⟨x⟩ = [x + 1 / 2], per x ≥ 0;

⟨x⟩ = [x – 1 / 2], per x ≤ 0;

⟨x⟩ = ⌈x – 1 / 2⌉, per x + 1 / 2 non intero maggiore di zero;

⟨x⟩ = ⌊x + 1 / 2⌋, per x – 1 / 2 non intero minore di zero;

⟨x⟩ = x + 1 / 2 – {x + 1 / 2}, per x ≥ 0;

⟨x⟩ = x – 1 / 2 – {x – 1 / 2}, per x ≤ 0;

x + iy = ⟨x⟩ – i⟨y⟩;

⟨x⟩ = x – arctan(1 / tan(π * x)) / π, per x realex + 1 / 2 non intero;

⟨⟨z⟩⟩ = ⟨z⟩;

⟨[z]⟩ = [z];

⟨⌈z⌉⟩ = ⌈z⌉;

⟨⌊z⌋⟩ = ⌊z⌋;

x + n⟩ = ⟨x⟩ + n, per n intero;

z⟩ + ⟨–z⟩ = 0;

z – ⟨z⟩⟩ = 0;

z1 + z2⟩ = ⟨z1⟩ + ⟨z2⟩ + ⟨z1 + z2 – ⟨z1⟩ – ⟨z2⟩⟩;

|⟨x + i * y⟩| = sqrt(⟨x⟩^2 + ⟨y⟩^2).

 

Alcuni integrali definiti che coinvolgono la funzione:

Integrale definito che coinvolge la funzione intero più vicino, per α ≠ –1 e x ≤ 3 / 2, e in particolare Integrale definito che coinvolge la funzione intero più vicino, per x ≤ 3 / 2;

Integrale definito che coinvolge la funzione intero più vicino, per x ≤ 3 / 2;

Integrale definito che coinvolge la funzione intero più vicino e in particolare Integrale definito che coinvolge la funzione intero più vicino;

Integrale definito che coinvolge la funzione intero più vicino;

Integrale definito che coinvolge la funzione intero più vicino, per Re(α) > 2;

Integrale definito che coinvolge la funzione intero più vicino, per α > 1.

 

La funzione è discontinua, quindi non può avere un’espansione in serie uniformemente convergente valida per ogni argomento, tuttavia ne esistono due, valide per alcuni argomenti:

  • Espansione in serie della funzione intero più vicino, per x reale;
  • Espansione in serie della funzione intero più vicino; per a e b interi, b > 1 e a / b non intero.

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