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Bell (polinomi di) (I)

Polinomi 

I polinomi di Bell bn(x), detti anche polinomi di Touchard, perché studiati da Jacques Touchard (1885 – 1968) nel 1939, sono definiti dalla ricorrenza b0(x) = 1, Ricorrenza per i polinomi di Bell.

 

Sono strettamente legati ai numeri di Bell e ai numeri di Bell complementari, perché bn = bn(1) e bn = bn(–1).

 

Il polinomio bn(x) è un polinomio di grado n a coefficienti interi; il coefficiente del termine di grado massimo è 1, quello del termine di grado 2 è 2n – 1 – 1, quello di grado 1 è 1 e quello di grado 0 è 0 per n > 0.

 

Alcune formule:

Formula per i polinomi di Bell;

Formula per i polinomi di Bell;

Formula per i polinomi di Bell;

Formula per la derivata dei polinomi di Bell e quindi Formula che lega un polinomio di Bell al precedente e alla sua derivata.

 

La funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei polinomi di Bell.

 

I polinomi b(n)(x) / xb(n + 1)(x) / x non hanno fattori comuni.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Bell.

 

Grafico dei primi polinomi di Bell

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Bell.

n

bn(x)

0

1

1

x

2

x2 + x

3

x3 + 3x2 + x

4

x4 + 6x3 + 7x2 + x

5

x5 + 10x4 + 25x3 + 15x2 + x

6

x6 + 15x5 + 65x4 + 90x3 + 31x2 + x

7

x7 + 21x6 + 140x5 + 350x4 + 301x3 + 63x2 + x

8

x8 + 28x7 + 266x6 + 1050x5 + 1701x4 + 966x3 + 127x2 + x

9

x9 + 36x8 + 462x7 + 2646x6 + 6951x5 + 7770x4 + 3025x3 + 255x2 + x

10

x10 + 45x9 + 750x8 + 5880x7 + 228276x6 + 42525x5 + 34105x4 + 9330x3 + 511x2 + x

11

x11 + 55x10 + 1155x9 + 11880x8 + 63987x7 + 1794876x6 + 246730x5 + 145750x4 + 28501x3 + 1023x2 + x

12

x12 + 66x11 + 1705x10 + 22275x9 + 159027x8 + 627396x7 + 1323652x6 + 1379400x5 + 611501x4 + 865261x3 + 2047x2 + x

13

x13 + 78x12 + 2431x11 + 39325x10 + 359502x9 + 1899612x8 + 5715424x7 + 9321312x6 + 7508501x5 + 2532530x4 + 261625x3 + 4095x2 + x

14

x14 + 91x13 + 3367x12 + 66066x11 + 752752x10 + 5135130x9 + 20912320x8 + 49329280x7 + 63436373x6 + 40075035x5 + 10391745x4 + 788970x3 + 8191x2 + x

15

x15 + 105x14 + 4550x13 + 106470x12 + 1479478x11 + 12662650x10 + 67128490x9 + 216627840x8 + 408741333x7 + 420693273x6 + 210766920x5 + 42355950x4 + 2375101x3 + 16383x2 + x

16

x16 + 120x15 + 6020x14 + 165620x13 + 2757118x12 + 28936908x11 + 193754990x10 + 820784250x9 + 2141764053x8 + 3281882604x7 + 2734926558x6 + 1096190550x5 + 171798901x4 + 7141686x3 + 32767x2 + x

17

x17 + 136x16 + 7820x15 + 249900x14 + 4910178x13 + 62022324x12 + 512060978x11 + 2758334150x10 + 9528822303x9 + 20415995028x8 + 25708104786x7 + 17505749898x6 + 5652751651x5 + 694337290x4 + 21457825x3 + 65535x2 + x

18

x18 + 153x17 + 9996x16 + 367200x15 + 8408778x14 + 125854638x13 + 1256328866x12 + 8391004908x11 + 37112163803x10 + 106175395755x9 + 189036065010x8 + 197462483400x7 + 110687251039x6 + 28958095545x5 + 2798806985x4 + 64439010x3 + 131071x2 + x

19

x19 + 171x18 + 12597x17 + 527136x16 + 13916778x15 + 243577530x14 + 2892439160x13 + 23466951300x12 + 129413217791x11 + 477297033785x10 + 1144614626805x9 + 1709751003480x8 + 1492924634839x7 + 693081601779x6 + 147589284710x5 + 11259666950x4 + 193448101x3 + 262143x2 + x

20

x20 + 190x19 + 15675x18 + 741285x17 + 22350954x16 + 452329200x15 + 6302524580x14 + 61068660380x13 + 411016633391x12 + 1900842429486x11 + 5917584964655x10 + 12011282644725x9 + 15170932662679x8 + 11143554045652x7 + 4306078895384x6 + 749206090500x5 + 45232115901x4 + 580606446x3 + 524287x2 + x

 

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