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Conway (congettura di)

Congetture  Rappresentazione dei numeri 

John Horton Conway propose una congettura che chiama in causa la scomposizione di un intero in fattori primi e la sua rappresentazione decimale.

L’idea di partenza è costruire una sequenza a partire da un numero naturale: se ne scrive la rappresentazione come prodotto di fattori primi, in ordine crescente, poi si concatenano esponenti e primi, senza alterare l’ordine, per ottenere un nuovo numero e si ripete finché possibile. Per esempio iniziando con 100 abbiamo 100 = 22 • 52, 2252 = 22 • 563, 22563 = 32 • 23 • 109; 3223109 è primo e la sequenza termina.

La congettura di Conway è che partendo da qualsiasi numero naturale si ottenga sempre un numero primo.

 

James Davis dimostrò nel 2017 che la congettura è falsa, perché se si inizia con n0 = 13532385396179, si ottiene 13 • 532 • 3853 • 96179, ossia il numero stesso, che non è primo.

Le eccezioni che terminano con un numero composto, dal quale si ottiene il numero stesso, ossa in un ciclo di lunghezza 1, sono probabilmente infinite: se si inizia con n1 = 13532385396179 si ottiene n0 e le prime 47 cifre di n1 sono 68971066936841703995076128866117893410448319579, che è primo, quindi se si inzia da questo numero elevato all’esponente dato dalle restanti cifre di n1 si ottiene n1.

Più in generale un intero può essere spezzato in primi ed esponenti in vari punti; per esempio, 13532385396179 proviene da 1353 • 238 • 53 • 96179 = 43669325827809624549489401258217321205856674791179440397408376698556504523891. Robert Gerbicz trovò che 13532385396179 può essere spezzato in 57 modi, ottenendo altrettanti precursori, ciascuno dei quali può essere probabilmente spezzato in più modi ed è quindi altamente probabile che catene di questo genere possano essere estese all’indietro all’infinito, ossia che esistano infiniti numeri a partire dai quali si ottiene 13532385396179.

 

I numeri composti che generano cicli di lunghezza 1, come 13532385396179, sono numeri errori di stampa.

 

Al momento non si conosce però alcun altro numero che generi in ciclo di lunghezza 1, né si conoscono cicli più lunghi.

 

Resta aperta anche la questione dell’esistenza di sequenze che continuano all’infinito.

 

I numeri minori fino a 10000 a partire dai quali non si sappia se la sequenza termina sono: 20, 105, 225, 299, 321, 330, 357, 404, 440, 447, 480, 548, 578, 670, 762, 777, 788, 796, 800, 864, 935, 936, 1016, 1040, 1086, 1138, 1154, 1176, 1180, 1206, 1207, 1220, 1239, 1251, 1273, 1274, 1284, 1323, 1368, 1448, 1452, 1507, 1524, 1570, 1580, 1610, 1622, 1656, 1701, 1707, 1725, 1730, 1748, 1754, 1771, 1772, 1785, 1845, 1846, 1914, 1916, 1927, 1956, 1967, 1994, 2032, 2042, 2050, 2051, 2121, 2134, 2140, 2144, 2147, 2159, 2170, 2172, 2183, 2186, 2189, 2212, 2282, 2285, 2398, 2410, 2533, 2535, 2544, 2552, 2556, 2567, 2569, 2577, 2594, 2602, 2603, 2646, 2658, 2670, 2715, 2772, 2804, 2810, 2811, 2813, 2816, 2877, 2913, 2914, 2921, 2955, 2982, 2993, 2997, 3029, 3065, 3068, 3107, 3120, 3149, 3168, 3216, 3252, 3298, 3300, 3315, 3321, 3328, 3330, 3332, 3334, 3345, 3372, 3394, 3437, 3441, 3544, 3560, 3569, 3582, 3699, 3710, 3717, 3737, 3746, 3759, 3781, 3790, 3813, 3819, 3820, 3838, 3859, 3892, 3905, 3937, 3971, 3976, 4002, 4012, 4031, 4086, 4097, 4107, 4110, 4122, 4147, 4155, 4163, 4173, 4190, 4227, 4242, 4254, 4274, 4278, 4318, 4331, 4334, 4383, 4461, 4465, 4494, 4558, 4572, 4620, 4655, 4660, 4675, 4677, 4686, 4716, 4727, 4737, 4740, 4745, 4746, 4767, 4769, 4869, 4891, 4922, 4950, 5002, 5013, 5024, 5033, 5045, 5046, 5052, 5069, 5079, 5110, 5111, 5152, 5158, 5160, 5187, 5188, 5200, 5201, 5254, 5274, 5326, 5336, 5342, 5346, 5350, 5352, 5428, 5457, 5472, 5480, 5481, 5490, 5493, 5536, 5564, 5585, 5613, 5638, 5648, 5656, 5667, 5672, 5694, 5704, 5760, 5762, 5772, 5814, 5833, 5838, 5842, 5854, 5855, 5872, 5934, 5940, 5958, 5992, 6000, 6001, 6003, 6020, 6044, 6057, 6092, 6149, 6169, 6170, 6171, 6227, 6248, 6272, 6273, 6289, 6294, 6327, 6328, 6340, 6341, 6348, 6362, 6465, 6483, 6498, 6572, 6604, 6605, 6612, 6623, 6631, 6645, 6656, 6698, 6699, 6725, 6728, 6729, 6773, 6774, 6782, 6785, 6800, 6810, 6819, 6821, 6865, 6906, 6944, 6966, 7022, 7025, 7026, 7036, 7071, 7086, 7115, 7125, 7130, 7145, 7150, 7194, 7210, 7281, 7293, 7303, 7334, 7367, 7371, 7414, 7418, 7420, 7450, 7474, 7491, 7498, 7513, 7514, 7516, 7519, 7584, 7592, 7597, 7612, 7628, 7636, 7671, 7679, 7685, 7686, 7707, 7712, 7719, 7730, 7735, 7743, 7747, 7776, 7784, 7840, 7852, 7861, 7906, 7912, 7918, 7922, 7942, 7956, 8007, 8010, 8030, 8083, 8097, 8210, 8214, 8218, 8235, 8238, 8254, 8267, 8325, 8326, 8362, 8374, 8392, 8394, 8399, 8434, 8463, 8500, 8506, 8514, 8541, 8550, 8596, 8602, 8660, 8668, 8710, 8729, 8734, 8738, 8740, 8745, 8754, 8774, 8800, 8811, 8860, 8885, 8925, 8943, 8949, 8972, 8974, 8975, 8980, 8992, 9010, 9026, 9032, 9042, 9054, 9055, 9080, 9082, 9101, 9113, 9149, 9155, 9156, 9188, 9206, 9208, 9219, 9237, 9273, 9303, 9316, 9332, 9362, 9368, 9370, 9383, 9386, 9395, 9411, 9447, 9448, 9532, 9570, 9592, 9603, 9647, 9651, 9659, 9670, 9675, 9682, 9685, 9696, 9698, 9780, 9783, 9809, 9816, 9820, 9822, 9856, 9864, 9881, 9889, 9891, 9899, 9960, 9964, 9965, 9978 (Hans Havermann).

 

La congettura si può estendere a qualsiasi base; nel 2017 David Seal dimostrò che la congettura è falsa anche in base 2, perché 255987 = 33 • 19 • 499 e rappresentando tutti i numeri in base 2 abbiamo 255987 = 1111100111111100112 = 1111 • 10011 • 111110011.

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