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Honaker (problema di)

Problemi  Teoria dei numeri 

Il problema di Honaker consiste nel trovare tre primi consecutivi p, q e r tali che p divida qr + 1.

Nel 2005 C.K. Caldwell e Y. Cheng dimostrarono che le uniche soluzioni minori di 2 • 1017 sono (2, 3, 5), (3, 5, 7) e (61, 67, 71), che la congettura di Cramér – Granville implica l’esistenza di un numero finito di soluzioni e che se la costante che compare nella congettura è minore di 199262, non vi sono altre soluzioni.

 

La dimostrazione si può generalizzare a insiemi di n primi consecutivi, tali che uno di essi divida il prodotto dei restanti più uno: se vale la congettura di Cramér – Granville, sono in numero finito per ogni n.

Almeno una soluzione esiste per ogni n, perché il prodotto dei primi n – 1 primi dispari è pari, quindi multiplo di 2; la minima soluzione per una quadrupla è quindi (2, 3, 5, 7) e così via.

 

La tabella seguente mostra il minimo primo di un insieme di n primi consecutivi, tali che il primo divida il prodotto dei restanti più uno, per n fino a 20; se ne esistono altri, sono maggiori di 109 (M. Fiorentini, 2021).

 

n

Minimo primo

3

2, 3, 61

4

2, 173, 3361

5

2, 233

6

2, 3, 7, 13

7

2, 3, 5, 7, 401, 1889, 70687

8

2

9

2, 3, 95828417

10

2, 3, 7, 2593, 8443, 196142929

11

2, 3, 7, 233, 2803

12

2, 13, 113, 283

13

2, 17, 821

14

2, 3, 1033, 681727

15

2, 5, 19

16

2, 3, 5, 11, 5479, 92791879, 712396627

17

2, 3, 67, 101, 449

18

2, 3, 61, 157

19

2, 5, 21841, 30293, 709909

20

2, 6143, 1681573

 

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