Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Biquadrati

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di biquadrati
  3. 3. Rappresentazione di interi come somma di biquadrati

Ogni numero naturale può essere espresso come somma di al massimo 19 biquadrati.

La prima dimostrazione in questo senso risale a Joseph Liouville (1859), che dimostrò che ne bastano 53; altri ridussero gradatamente tale numero: A. Wieferich (1909) lo portò a 37, Hardy e Littlewood (1921) a 21 e infine R. Balasubramanian, J.M. Deshouillers e F. Dress (1986) lo ridussero a 19. Per numeri abbastanza grandi A.J. Kempner (1912) dimostrò che 16 sono necessari, Hardy e Littlewood (1921) dimostrarono che 21 bastano e A.H. Davenport dimostrò infine che 16 sono sufficienti.

  • I 7 interi che ne richiedono 19 sono: 79, 159, 239, 319, 399, 479 e 559.

  • I 24 interi che ne richiedono 18 sono: 63, 78, 143, 158, 223, 238, 303, 318, 383, 398, 463, 478, 543, 558, 623, 703, 783, 863, 943, 1008, 1023, 1103, 1183, e 1248.

  • I 65 interi che ne richiedono 17 sono: 47, 62, 77, 127, 142, 157, 207, 222, 237, 287, 302, 317, 367, 382, 397, 447, 462, 477, 527, 542, 557, 607, 622, 687, 702, 752, 767, 782, 847, 862, 927, 942, 992, 1007, 1022, 1087, 1102, 1167, 1182, 1232, 1247, 1327, 1407, 1487, 1567, 1647, 1727, 1807, 2032, 2272, 2544, 3552, 3568, 3727, 3792, 3808, 4592, 4832, 6128, 6352, 6368, 7152, 8672, 10992 e 13792.

Per tutti gli interi maggiori di 13792 bastano 16 biquadrati.

 

Tra gli interi abbastanza grandi, solo quelli della forma  31 • 16n richiedono 16 biquadrati (Kempner, 1912), mentre ne bastano meno per interi di altre forme:

  • ogni numero della forma 16n + k abbastanza grande, con k da 1 a 14, può essere espresso come somma di 14 biquadrati (A.H. Davenport, 1939);

  • ogni numero della forma 16n + k abbastanza grande, con k da 1 a 13, può essere espresso come somma di 13 biquadrati (R.C. Vaughan, 1985);

  • ogni numero della forma 16n + k abbastanza grande, con k da 1 a 12, può essere espresso come somma di 12 biquadrati (R.C. Vaughan, 1989);

  • ogni numero della forma 16n + k abbastanza grande, con k da 1 a 10, può essere espresso come somma di 11 biquadrati (Kawada e Wooley).

 

Dal fatto che ogni intero abbastanza grande può essere espresso come somma di 29 biquadrati di primi (v. potenze) e che 16n può essere espresso come somma di al massimo 75 + n biquadrati dispari per n ≤ 29, segue che ogni intero abbastanza grande può essere espresso come somma di 104 biquadrati dispari, ma il numero di addendi necessari è probabilmente inferiore.

Sembra che ogni intero maggiore di 25484904 possa essere rappresentato come somma di 23 biquadrati dispari. La tabella seguente riporta i numeri di interi noti e i massimi interi noti che richiedano n biquadrati dispari, per n da 24 a 86; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 (M. Fiorentini, 2019).

n

Numero di interi che richiedono n addendi

Massimo intero che richiede n addendi

24

20309

25484904

25

5115

2542425

26

2192

763946

27

1193

388587

28

723

170828

29

467

79709

30

320

78030

31

240

78031

32

195

28192

33

164

13793

34

142

13794

35

123

13475

36

106

7236

37

90

7237

38

75

7238

39

61

7239

40

48

7240

41

37

7241

42

30

7242

43

26

7243

44

24

2348

45

23

1805

46

23

1806

47

23

1807

48

23

1808

49

23

1809

50

22

1810

51

21

1811

52

20

1812

53

19

1813

54

18

1814

55

17

1815

56

16

1816

57

15

1177

58

15

1178

59

15

1179

60

15

1180

61

15

1181

62

15

1182

63

15

1183

64

15

1184

65

14

1185

66

13

1186

67

12

1187

68

11

1188

69

10

1189

70

9

1190

71

8

1191

72

7

552

73

7

553

74

7

554

75

7

555

76

7

556

77

7

557

78

7

558

79

7

559

80

7

560

81

6

561

82

5

562

83

4

563

84

3

564

85

2

565

86

1

566

 

Ogni intero abbastanza grande può essere espresso come somma di 29 biquadrati di numeri primi (v. potenze).

Gli unici interi positivi che non possono essere espressi come somma di biquadrati di primi sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463, 470, 471, 472, 473, 474, 475, 476, 477, 478, 479, 487, 488, 489, 490, 491, 492, 493, 494, 495, 503, 504, 505, 506, 507, 508, 509, 510, 511, 519, 520, 521, 522, 523, 524, 525, 526, 527, 535, 536, 537, 538, 539, 540, 541, 542, 543, 551, 552, 553, 554, 555, 556, 557, 558, 559, 568, 569, 570, 571, 572, 573, 574, 575, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 590, 591, 600, 601, 602, 603, 604, 605, 606, 607, 616, 617, 618, 619, 620, 621, 622, 623, 632, 633, 634, 635, 636, 637, 638, 639, 649, 650, 651, 652, 653, 654, 655, 665, 666, 667, 668, 669, 670, 671, 681, 682, 683, 684, 685, 686, 687, 697, 698, 699, 700, 701, 702, 703, 713, 714, 715, 716, 717, 718, 719, 730, 731, 732, 733, 734, 735, 746, 747, 748, 749, 750, 751, 762, 763, 764, 765, 766, 767, 778, 779, 780, 781, 782, 783, 794, 795, 796, 797, 798, 799, 811, 812, 813, 814, 815, 827, 828, 829, 830, 831, 843, 844, 845, 846, 847, 859, 860, 861, 862, 863, 875, 876, 877, 878, 879, 892, 893, 894, 895, 908, 909, 910, 911, 924, 925, 926, 927, 940, 941, 942, 943, 956, 957, 958, 959, 973, 974, 975, 989, 990, 991, 1005, 1006, 1007, 1021, 1022, 1023, 1037, 1038, 1039, 1054, 1055, 1070, 1071, 1086, 1087, 1102, 1103, 1118, 1119, 1135, 1151, 1167, 1183, 1199 (M. Fiorentini, 2019).

 

Se si ammette anche la sottrazione, è stato dimostrato che servono 4 biquadrati e 5 bastano; non si sa se 4 possano bastare per numeri abbastanza grandi.

 

Gli interi non rappresentabili come somma di biquadrati distinti (7.1 Mbyte) sono 889576, il massimo dei quali è 5134240 (S. Lin 1970).

 

Esistono infiniti interi esprimibili come somma di due quarte potenze in due modi; i minimi sono:

  • 635318567 = 594 + 1584 = 1334 + 1344 (Eulero);

  • 3262811042 = 74 + 2394 = 1574 + 2274;

  • 8657437697 = 2564 + 2574 = 1934 + 2924.

Due soluzioni parametriche che danno infinite soluzioni intere, ma non tutte, dell’equazione x4 + y4 = w4 + z4 sono:

  • x = a + b, y = cd, w = ab, z = c + d, con a = n(m2 + n2)(–m4 + 18m2n2n4), b = 2m(m6 + 10m4n2 + m2n4 + 4n6), c = 2n(4m6 + m4n2 + 10m2n4 + n6), d = m(m2 + n2)(–m4 + 18m2n2n4), per m e n interi qualsiasi;

  • x = m7 + m5n2 – 2m3n4 + 3m2n5 + mn6, y = m6n – 3m5n2 – 2m4n3 + m2n5 + n7, w = m7 + m5n2 – 2m3n4 – 3m2n5 + mn6, z = m6n + 3m5n2 – 2m4n3 + m2n5 + n7, per m e n interi qualsiasi.

 

Esistono infiniti interi esprimibili come somma di tre quarte potenze in due modi; i minimi sono:

  • 48025 = 34 + 54 + 84 = 04 + 74 + 74, se si vuole usare lo zero;

  • 2673 = 24 + 44 + 74 = 34 + 64 + 64, se si ammettono numeri uguali (Ramanujan);

  • 6578 = 14 + 24 + 94 = 34 + 74 + 84, se si vogliono utilizzare solo interi distinti (Ramanujan).

Due soluzioni parametriche di Ramanujan che danno infinite soluzioni, ma non tutte, sono:

  • 34 + (2n4 – 1)4 + (4n5 + n)4 = (4n4 + 1)4 + (6n4 – 3)4 + (4n5 – 5n)4, per n intero qualsiasi

  • (n + m + k)4 + (m + k + l)4 + (nl)4 = (n + k + l)4 + (n + m + l)4 + (mk)4, con Condizione per la formula di Ramanujan; da notare che questa soluzione rimane valida sostituendo 4 con 2 come esponente.

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di due quarte potenze di primi in due modi diversi è 3262811042 = 74 + 2394 = 1574 + 2274.

 

Il minimo primo che sia somma di tre quarte potenze è 2 = 04 + 14 + 14; se si escludono le potenze nulle, allora è 3 = 14 + 14 + 14.

Il minimo primo che sia somma di tre quarte potenze in due modi diversi è 137633 = 84 + 134 + 184 = 94 + 164 + 164.

Il minimo primo che sia somma di tre quarte potenze in tre modi diversi è 409698593 = 184 + 1094 + 1284 = 864 + 944 + 1294 = 14 + 424 + 1424.

Il minimo primo che sia somma di due o tre quarte potenze non nulle è 3959297 = 374 + 384 = 254 + 264 + 424.

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di 2 o 3 quarte potenze non nulle è 4802: 4802 = 74 + 74 = 34 + 54 + 84.

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di 2 o 4 quarte potenze non nulle è 6642: 6642 = 34 + 94 = 54 + 54 + 64 + 84 (Ramanujan).

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di 3 o 4 quarte potenze non nulle è 2433: 2433 = 24 + 24 + 74 = 44 + 44 + 54 + 64. Basta aggiungere una o più unità per ottenere il minimo intero che possa essere espresso come somma di n o n + 1 quarte potenze non nulle per n > 3; per esempio, 2434 = 14 + 24 + 24 + 74 = 14 + 44 + 44 + 54 + 64.

 

I numeri naturali non rappresentabili come somma di biquadrati maggiori di 1 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463, 470, 471, 472, 473, 474, 475, 476, 477, 478, 479, 487, 488, 489, 490, 491, 492, 493, 494, 495, 503, 504, 505, 506, 507, 508, 509, 510, 511, 519, 520, 521, 522, 523, 524, 525, 526, 527, 535, 536, 537, 538, 539, 540, 541, 542, 543, 551, 552, 553, 554, 555, 556, 557, 558, 559, 568, 569, 570, 571, 572, 573, 574, 575, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 590, 591, 600, 601, 602, 603, 604, 605, 606, 607, 616, 617, 618, 619, 620, 621, 622, 623, 632, 633, 634, 635, 636, 637, 638, 639, 649, 650, 651, 652, 653, 654, 655, 665, 666, 667, 668, 669, 670, 671, 681, 682, 683, 684, 685, 686, 687, 697, 698, 699, 700, 701, 702, 703, 713, 714, 715, 716, 717, 718, 719, 730, 731, 732, 733, 734, 735, 746, 747, 748, 749, 750, 751, 762, 763, 764, 765, 766, 767, 778, 779, 780, 781, 782, 783, 794, 795, 796, 797, 798, 799, 811, 812, 813, 814, 815, 827, 828, 829, 830, 831, 843, 844, 845, 846, 847, 859, 860, 861, 862, 863, 875, 876, 877, 878, 879, 892, 893, 894, 895, 908, 909, 910, 911, 924, 925, 926, 927, 940, 941, 942, 943, 956, 957, 958, 959, 973, 974, 975, 989, 990, 991, 1005, 1006, 1007, 1021, 1022, 1023, 1037, 1038, 1039, 1054, 1055, 1070, 1071, 1086, 1087, 1102, 1103, 1118, 1119, 1135, 1151, 1167, 1183, 1199.

Se si utilizzano multipli di biquadrati maggiori di 1, tutti gli interi tranne i 600 sopra elencati sono rappresentabili con due addendi. In altri termini, tranne queste eccezioni, tutti gli interi si possono rappresentare come am4 + bn4, con m e n maggiori di 1.

 

Per quanto riguarda le quarte potenze esprimibili come somma di altre quarte potenze:

  • nessuna è uguale alla somma di due quarte potenze (Fermat);

  • ve ne sono infinite uguali alla somma di 3 quarte potenze; la minima soluzione è 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 (Roger Frye, 1988);

  • ve ne sono infinite uguali alla somma di 4 quarte potenze; la minima soluzione è 304 + 1204 + 2724 + 3154 = 3534;

  • ve ne sono infinite uguali alla somma di 5 quarte potenze; la minima soluzione è 24 + 24 + 34 + 44 + 44 = 54, mentre la minima con numeri differenti è 44 + 64 + 84 + 94 + 144 = 154; sono note anche varie soluzioni parametriche, come le due di Ramanujan (8n2 + 40nm – 24m2)4 + (6n2 – 44nm – 18m2)4 + (14n2 – 4nm – 42m2)4 + (9n2 + 27m2)4 + (4n2 + 12m2)4 = (15n2 + 45m2)4 e (4n2 – 12m2)4 + (3n2 + 9m2)4 + (2n2 – 12nm – 6m2)4 + (4n2 + 12m2)4 + (2n2 + 12nm – 6m2)4 = (5n2 + 15m2)4, per n e m interi qualsiasi e (2x2 + 36x – 54)4 + (2x2 – 36x – 54)4 + (4x2 + 108)4 + (4x2 – 108)4 + (3x2 + 81)4 = (5x2 + 135)4, per x intero qualsiasi.

Infinite identità analoghe possono essere costruite partendo dall’identità (ax2 + 2(a + 2b)xy – 3ay2)4 + (bx2 – 2(2a + b)xy – 3by2)4 + ((a + b)x2 – 2(ab)xy – 3(a + b)y2)4 = (a4 + b4 + (a + b)4)(x2 + 3y2)4, cercando una quarta potenza rappresentabile come somma di quarte potenze, in modo che la somma di due delle basi sia un’altra base della rappresentazione.

Per esempio, partendo da 44 + 154 + 504 + 504 + 1004 = 1034, abbiamo che 50 + 50 = 100; sostituendo a = 50 e b = 50 e poi 504 + 504 + 1004 = 1034 – 44 – 154, otteniamo (50x2 + 300xy – 150y2)4 + (50x2 – 300xy – 150y2)4 + (100x2 – 300y2)4 = (1034 – 44 – 154)(x2 + 3y2)4, ossia (50x2 + 300xy – 150y2)4 + (50x2 – 300xy – 150y2)4 + (100x2 – 300y2)4 + (4x2 + 12y2)4 + (15x2 + 45y2)4 = (103x2 + 309y2)4.

 

Nessun quadrato è somma o differenza di due quarte potenze non nulle (Fermat).

 

L’identità di Ferrari permette di trovare infinite quarte potenze, il doppio delle quali si possa esprimere come somma di tre quarte potenze: 2(a2 + b2 + c2ab + ac + bc)4 = (a2 + 2ac – 2bcb2)4 + (b2 – 2ab – 2acc2)4 + (c2 + 2ab + 2bca2)4 (F. Ferrari, 1909).

 

Ramanujan trovò quattro identità per esprimere il doppio di quadrati, quarte, seste e ottave potenze come somma di tre quarte potenze, per a + b + c = 0:

  • 2(ab + bc + ac)2 = a4 + b4 + c4;

  • 2(ab + bc + ac)4 = a4(bc)4 + b4(ca)4 + c4(ab)4;

  • 2(ab + bc + ac)6 = (a2b + b2c + c2a)4 + (ab2 + bc2 + ca2)4 + (3abc)4;

  • 2(ab + bc + ac)8 = (a3 + 2abc)4(bc)4 + (b3 + 2abc)4(ca)4 + (c3 + 2abc)4(ab)4.

Nel 1992 S. Bhargava dimostrò che questi sono casi particolari di un’identità più generale; per enunciarlo conviene definire due funzioni f e g, che hanno per argomento un vettore di tre componenti e producono un vettore di tre componenti:

  • f((a, b, c)) = (a(bc), b(ca), c(ab));

  • g((a, b, c)) = (a2b + b2c + c2a, ab2 + bc2 + ca2, 3abc).

Indichiamo con h∘k la composizione delle funzioni h e k, ovvero h∘k((a, b, c)) = h(k((a, b, c))) e con h(n)((a, b, c)) la composizione n volte della funzione h con se stessa, ossia h(0)((a, b, c)) = (a, b, c), h(1)((a, b, c)) = h((a, b, c)), h(2)((a, b, c)) = h(h((a, b, c))) etc.; indichiamo con ||(a, b, c)|| la somma delle quarte potenze delle componenti del vettore, cioè ||(a, b, c)|| = a4 + b4 + c4.

La notazione è un po’ complessa, ma ha il vantaggio di rendere l’enunciato del teorema di Bhargava molto compatto: ||f(m)g(n)((a, b, c))|| = ||g(n)f(m)((a, b, c))|| = 2(ab + bc + ca)2m + 13n. Fissando i valori di m e n ed espandendo la formula, si ricavano infinite identità analoghe.

 

L.W. Jacobi e D.J. Madden dimostrarono nel 2004 che esistono infinite quaterne di interi x, y, w, z tali che x4 + y4 + w4 + z4 = (x + y + w + z)4; la minima è (955, 1770, –2634, 5400) (S. Brudno, 1964).

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di due quarte potenze di due numeri razionali è 5906 come somma di due quarte potenze di razionali; questo equivale a dire che 5906 è il minimo valore di n tale che l’equazione x4 + y4 = nz4 abbia soluzioni intere con z > 1 (A. Bremner e P. Morton, 1983).

 

I minimi valori interi di a, b, c, d, e, f tali che (a^4 + b^4 + c^4) / (d^4 + e^4 + f^4) = (a + b + c) / (d + e + f) sono a = 3, b = 25, c = 38, d = 7, e = 20, f = 39 (V. Kyrtatas, 1999).

 

Il minimo intero che possa essere espresso come differenza di due quarte potenze in due modi diversi è 300783360 = 1334 – 594 = 1584 – 1344 (Duncan Moore).

Il minimo intero che possa essere espresso come differenza di due quarte potenze in tre modi diversi è 4860992489864937000960 = 2640474 – 11694 = 2650764 – 934364 = 3350844 – 2966684 (Duncan Moore).

Vedi anche

Cubi, Potenze, Quadrati.

Bibliografia

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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