Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Biquadrati

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di biquadrati
  3. 3. Rappresentazione di interi come somma di biquadrati

Ogni numero naturale può essere espresso come somma di al massimo 19 biquadrati.

La prima dimostrazione in questo senso risale a J. Liouville (1859), che dimostrò che ne bastano 53; altri ridussero gradatamente tale numero, A. Wieferich (1909) lo portò a 37 e infine R. Balasubramanian, J.M. Deshouillers e F. Dress lo ridussero a 19. Per numeri abbastanza grandi A.J. Kempner dimostrò che 16 sono necessari, Hardy e Littlewood (1921) dimostrarono che 21 bastano e A.H. Davenport dimostrò infine che 16 sono sufficienti.

  • I 7 interi che ne richiedono 19 sono: 79, 159, 239, 319, 399, 479 e 559.

  • I 24 interi che ne richiedono 18 sono: 63, 78, 143, 158, 223, 238, 303, 318, 383, 398, 463, 478, 543, 558, 623, 703, 783, 863, 943, 1008, 1023, 1103, 1183, e 1248.

  • I 65 interi che ne richiedono 17 sono: 47, 62, 77, 127, 142, 157, 207, 222, 237, 287, 302, 317, 367, 382, 397, 447, 462, 477, 527, 542, 557, 607, 622, 687, 702, 752, 767, 782, 847, 862, 927, 942, 992, 1007, 1022, 1087, 1102, 1167, 1182, 1232, 1247, 1327, 1407, 1487, 1567, 1647, 1727, 1807, 2032, 2272, 2544, 3552, 3568, 3727, 3792, 3808, 4592, 4832, 6128, 6352, 6368, 7152, 8672, 10992 e 13792.

Per tutti gli interi maggiori di 13792 bastano 16 biquadrati.

 

Tra gli interi abbastanza grandi, solo quelli della forma  31 • 16n richiedono 16 biquadrati (Kempner), mentre ne bastano meno per interi di altre forme:

  • ogni numero della forma 16n + k abbastanza grande, con k da 1 a 14, può essere espresso come somma di 14 biquadrati (H. Davenport, 1939);

  • ogni numero della forma 16n + k abbastanza grande, con k da 1 a 13, può essere espresso come somma di 13 biquadrati (R.C. Vaughan, 1985);

  • ogni numero della forma 16n + k abbastanza grande, con k da 1 a 12, può essere espresso come somma di 12 biquadrati (R.C. Vaughan, 1989);

  • ogni numero della forma 16n + k abbastanza grande, con k da 1 a 10, può essere espresso come somma di 11 biquadrati (Kawada e Wooley).

 

Se si ammette anche la sottrazione, è stato dimostrato che servono 4 biquadrati e 5 bastano; non si sa se 4 possano bastare per numeri abbastanza grandi.

 

Gli interi non rappresentabili come somma di biquadrati distinti (7.1 Mbyte) sono 889576, il massimo dei quali è 5134240 (S. Lin 1970).

 

Esistono infiniti interi esprimibili come somma di due quarte potenze in due modi; i minimi sono:

  • 635318567 = 594 + 1584 = 1334 + 1344 (Eulero);

  • 3262811042 = 74 + 2394 = 1574 + 2274;

  • 8657437697 = 2564 + 2574 = 1934 + 2924.

Due soluzioni parametriche che danno infinite soluzioni intere, ma non tutte, dell’equazione x4 + y4 = w4 + z4 sono:

  • x = a + b, y = cd, w = ab, z = c + d, con a = n(m2 + n2)(–m4 + 18m2n2n4), b = 2m(m6 + 10m4n2 + m2n4 + 4n6), c = 2n(4m6 + m4n2 + 10m2n4 + n6), d = m(m2 + n2)(–m4 + 18m2n2n4), per m e n interi qualsiasi;

  • x = m7 + m5n2 – 2m3n4 + 3m2n5 + mn6, y = m6n – 3m5n2 – 2m4n3 + m2n5 + n7, w = m7 + m5n2 – 2m3n4 – 3m2n5 + mn6, z = m6n + 3m5n2 – 2m4n3 + m2n5 + n7, per m e n interi qualsiasi.

 

Esistono infiniti interi esprimibili come somma di tre quarte potenze in due modi; i minimi sono:

  • 48025 = 34 + 54 + 84 = 04 + 74 + 74, se si vuole usare lo zero;

  • 2673 = 24 + 44 + 74 = 34 + 64 + 64, se si ammettono numeri uguali (Ramanujan);

  • 6578 = 14 + 24 + 94 = 34 + 74 + 84, se si vogliono utilizzare solo interi distinti (Ramanujan).

Due soluzioni parametriche di Ramanujan che danno infinite soluzioni, ma non tutte, sono:

  • 34 + (2n4 – 1)4 + (4n5 + n)4 = (4n4 + 1)4 + (6n4 – 3)4 + (4n5 – 5n)4, per n intero qualsiasi

  • (n + m + k)4 + (m + k + l)4 + (nl)4 = (n + k + l)4 + (n + m + l)4 + (mk)4, con Condizione per la formula di Ramanujan; da notare che questa soluzione rimane valida sostituendo 4 con 2 come esponente.

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di due quarte potenze di primi in due modi diversi è 3262811042 = 74 + 2394 = 1574 + 2274.

 

Il minimo primo che sia somma di tre quarte potenze è 2 = 04 + 14 + 14; se si escludono le potenze nulle, allora è 3 = 14 + 14 + 14.

Il minimo primo che sia somma di tre quarte potenze in due modi diversi è 137633 = 84 + 134 + 184 = 94 + 164 + 164.

Il minimo primo che sia somma di tre quarte potenze in tre modi diversi è 409698593 = 184 + 1094 + 1284 = 864 + 944 + 1294 = 14 + 424 + 1424.

Il minimo primo che sia somma di due o tre quarte potenze non nulle è 3959297 = 374 + 384 = 254 + 264 + 424.

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di 2 o 3 quarte potenze non nulle è 4802: 4802 = 74 + 74 = 34 + 54 + 84.

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di 2 o 4 quarte potenze non nulle è 6642: 6642 = 34 + 94 = 54 + 54 + 64 + 84 (Ramanujan).

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di 3 o 4 quarte potenze non nulle è 2433: 2433 = 24 + 24 + 74 = 44 + 44 + 54 + 64. Basta aggiungere una o più unità per ottenere il minimo intero che possa essere espresso come somma di n o n + 1 quarte potenze non nulle per n > 3; per esempio, 2434 = 14 + 24 + 24 + 74 = 14 + 44 + 44 + 54 + 64.

 

I numeri naturali non rappresentabili come somma di biquadrati maggiori di 1 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463, 470, 471, 472, 473, 474, 475, 476, 477, 478, 479, 487, 488, 489, 490, 491, 492, 493, 494, 495, 503, 504, 505, 506, 507, 508, 509, 510, 511, 519, 520, 521, 522, 523, 524, 525, 526, 527, 535, 536, 537, 538, 539, 540, 541, 542, 543, 551, 552, 553, 554, 555, 556, 557, 558, 559, 568, 569, 570, 571, 572, 573, 574, 575, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 590, 591, 600, 601, 602, 603, 604, 605, 606, 607, 616, 617, 618, 619, 620, 621, 622, 623, 632, 633, 634, 635, 636, 637, 638, 639, 649, 650, 651, 652, 653, 654, 655, 665, 666, 667, 668, 669, 670, 671, 681, 682, 683, 684, 685, 686, 687, 697, 698, 699, 700, 701, 702, 703, 713, 714, 715, 716, 717, 718, 719, 730, 731, 732, 733, 734, 735, 746, 747, 748, 749, 750, 751, 762, 763, 764, 765, 766, 767, 778, 779, 780, 781, 782, 783, 794, 795, 796, 797, 798, 799, 811, 812, 813, 814, 815, 827, 828, 829, 830, 831, 843, 844, 845, 846, 847, 859, 860, 861, 862, 863, 875, 876, 877, 878, 879, 892, 893, 894, 895, 908, 909, 910, 911, 924, 925, 926, 927, 940, 941, 942, 943, 956, 957, 958, 959, 973, 974, 975, 989, 990, 991, 1005, 1006, 1007, 1021, 1022, 1023, 1037, 1038, 1039, 1054, 1055, 1070, 1071, 1086, 1087, 1102, 1103, 1118, 1119, 1135, 1151, 1167, 1183, 1199.

Se si utilizzano multipli di biquadrati maggiori di 1, tutti gli interi tranne i 600 sopra elencati sono rappresentabili con due addendi. In altri termini, tranne queste eccezioni, tutti gli interi si possono rappresentare come am4 + bn4, con m e n maggiori di 1.

 

Per quanto riguarda le quarte potenze esprimibili come somma di altre quarte potenze:

  • nessuna è uguale alla somma di due quarte potenze (Fermat);

  • ve ne sono infinite uguali alla somma di 3 quarte potenze; la minima soluzione è 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 (Roger Frye, 1988);

  • ve ne sono infinite uguali alla somma di 4 quarte potenze; la minima soluzione è 304 + 1204 + 2724 + 3154 = 3534;

  • ve ne sono infinite uguali alla somma di 5 quarte potenze; la minima soluzione è 24 + 24 + 34 + 44 + 44 = 54, mentre la minima con numeri differenti è 44 + 64 + 84 + 94 + 144 = 154; sono note anche varie soluzioni parametriche, come le due di Ramanujan (8n2 + 40nm – 24m2)4 + (6n2 – 44nm – 18m2)4 + (14n2 – 4nm – 42m2)4 + (9n2 + 27m2)4 + (4n2 + 12m2)4 = (15n2 + 45m2)4 e (4n2 – 12m2)4 + (3n2 + 9m2)4 + (2n2 – 12nm – 6m2)4 + (4n2 + 12m2)4 + (2n2 + 12nm – 6m2)4 = (5n2 + 15m2)4, per n e m interi qualsiasi e (2x2 + 36x – 54)4 + (2x2 – 36x – 54)4 + (4x2 + 108)4 + (4x2 – 108)4 + (3x2 + 81)4 = (5x2 + 135)4, per x intero qualsiasi.

Infinite identità analoghe possono essere costruite partendo dall’identità (ax2 + 2(a + 2b)xy – 3ay2)4 + (bx2 – 2(2a + b)xy – 3by2)4 + ((a + b)x2 – 2(ab)xy – 3(a + b)y2)4 = (a4 + b4 + (a + b)4)(x2 + 3y2)4, cercando una quarta potenza rappresentabile come somma di quarte potenze, in modo che la somma di due delle basi sia un’altra base della rappresentazione.

Per esempio, partendo da 44 + 154 + 504 + 504 + 1004 = 1034, abbiamo che 50 + 50 = 100; sostituendo a = 50 e b = 50 e poi 504 + 504 + 1004 = 1034 – 44 – 154, otteniamo (50x2 + 300xy – 150y2)4 + (50x2 – 300xy – 150y2)4 + (100x2 – 300y2)4 = (1034 – 44 – 154)(x2 + 3y2)4, ossia (50x2 + 300xy – 150y2)4 + (50x2 – 300xy – 150y2)4 + (100x2 – 300y2)4 + (4x2 + 12y2)4 + (15x2 + 45y2)4 = (103x2 + 309y2)4.

 

Nessun quadrato è somma o differenza di due quarte potenze non nulle (Fermat).

 

L’identità di Ferrari permette di trovare infinite quarte potenze, il doppio delle quali si possa esprimere come somma di tre quarte potenze: 2(a2 + b2 + c2ab + ac + bc)4 = (a2 + 2ac – 2bcb2)4 + (b2 – 2ab – 2acc2)4 + (c2 + 2ab + 2bca2)4 (F. Ferrari, 1909).

 

Ramanujan trovò quattro identità per esprimere il doppio di quadrati, quarte, seste e ottave potenze come somma di tre quarte potenze, per a + b + c = 0:

  • 2(ab + bc + ac)2 = a4 + b4 + c4;

  • 2(ab + bc + ac)4 = a4(bc)4 + b4(ca)4 + c4(ab)4;

  • 2(ab + bc + ac)6 = (a2b + b2c + c2a)4 + (ab2 + bc2 + ca2)4 + (3abc)4;

  • 2(ab + bc + ac)8 = (a3 + 2abc)4(bc)4 + (b3 + 2abc)4(ca)4 + (c3 + 2abc)4(ab)4.

Nel 1992 S. Bhargava dimostrò che questi sono casi particolari di un’identità più generale; per enunciarlo conviene definire due funzioni f e g, che hanno per argomento un vettore di tre componenti e producono un vettore di tre componenti:

  • f((a, b, c)) = (a(bc), b(ca), c(ab));

  • g((a, b, c)) = (a2b + b2c + c2a, ab2 + bc2 + ca2, 3abc).

Indichiamo con h∘k la composizione delle funzioni h e k, ovvero h∘k((a, b, c)) = h(k((a, b, c))) e con h(n)((a, b, c)) la composizione n volte della funzione h con se stessa, ossia h(0)((a, b, c)) = (a, b, c), h(1)((a, b, c)) = h((a, b, c)), h(2)((a, b, c)) = h(h((a, b, c))) etc.; indichiamo con ||(a, b, c)|| la somma delle quarte potenze delle componenti del vettore, cioè ||(a, b, c)|| = a4 + b4 + c4.

La notazione è un po’ complessa, ma ha il vantaggio di rendere l’enunciato del teorema di Bhargava molto compatto: ||f(m)g(n)((a, b, c))|| = ||g(n)f(m)((a, b, c))|| = 2(ab + bc + ca)2m + 13n. Fissando i valori di m e n ed espandendo la formula, si ricavano infinite identità analoghe.

 

L.W. Jacobi e D.J. Madden dimostrarono nel 2004 che esistono infinite quaterne di interi x, y, w, z tali che x4 + y4 + w4 + z4 = (x + y + w + z)4; la minima è (955, 1770, –2634, 5400) (S. Brudno, 1964).

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di due quarte potenze di due numeri razionali è 5906 come somma di due quarte potenze di razionali; questo equivale a dire che 5906 è il minimo valore di n tale che l’equazione x4 + y4 = nz4 abbia soluzioni intere con z > 1 (A. Bremner e P. Morton, 1983).

 

I minimi valori interi di a, b, c, d, e, f tali che (a^4 + b^4 + c^4) / (d^4 + e^4 + f^4) = (a + b + c) / (d + e + f) sono a = 3, b = 25, c = 38, d = 7, e = 20, f = 39 (V. Kyrtatas, 1999).

 

Il minimo intero che possa essere espresso come differenza di due quarte potenze in due modi diversi è 300783360 = 1334 – 594 = 1584 – 1344 (Duncan Moore).

Il minimo intero che possa essere espresso come differenza di due quarte potenze in tre modi diversi è 4860992489864937000960 = 2640474 – 11694 = 2650764 – 934364 = 3350844 – 2966684 (Duncan Moore).

Vedi anche

Cubi, Potenze, Quadrati.

Bibliografia

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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