Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Biquadrati

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di biquadrati
  3. 3. Rappresentazione di interi come somma di biquadrati

I biquadrati sono i quadrati dei quadrati, ovvero le quarte potenze degli interi.

 

Alcune somme che coinvolgono biquadrati:

Formula per la somma di biquadrati;

Formula per la somma di biquadrati a segni alterni;

Formula per la somma di reciproci di biquadrati;

Formula per la somma di reciproci di biquadrati a segni alterni.

 

La funzione generatrice è Formula per la funzione generatrice dei biquadrati.

 

La tabella seguente mostra i biquadrati degli interi sino a 20.

n

n4

0

0

1

1

2

16

3

81

4

256

5

625

6

1296

7

2401

8

4096

9

6561

10

10000

11

14641

12

20736

13

28561

14

38416

15

50625

16

65536

17

83521

18

104976

19

130321

20

160000

 

L’unico primo della forma 4x4 + y4 è 5 (Baudran, 1885).

 

Se 5 o 29 dividono la somma di tre quarte potenze di interi, dividono anche i tre interi, come osservato da Eulero.

 

Gli unici interi uguali alla somma dei biquadrati delle loro cifre sono: 0, 1, 1634, 8208 e 9474 (v. numeri di Armstrong).

 

In base 10 in un numero di almeno 256 cifre si trova una sequenza di cifre (eventualmente ridotta a una sola cifra) il cui prodotto è un biquadrato; per le generalizzazioni v. potenze.

 

Alcune equazioni diofantee di quarto grado sono state analizzate in dettaglio:

  • l’equazione a4 + b4 + c4 + d4 = (a + b + c + d)4 ha infinite soluzioni con a, b, c e d interi, anche negativi (Jacobi e Madden, 2008), come 9554 + 17004 + 23744 + 54004 = (955 + 1700 – 2364 + 5400)4 (Brudno, 1964);

  • l’equazione x4 ± y4 = z2 non ha soluzioni intere, a parte il caso banale x = y = z = 0 (Fermat).

  • l’equazione x4 ± y4 = 2nz2 non ha soluzioni intere, a parte il caso banale x = y = z = 0 (Eulero).

  • l’equazione 2nx4y4 = z2 ha infinite soluzioni intere non banali se e solo se n ha la forma 4k + 1 (Eulero, Lebesgue);

  • l’equazione x4 + 2ny4 = z2 ha soluzioni intere non banali se e solo se n ha la forma 4k + 3 (Eulero); le soluzioni si ottengono dalle soluzioni dell’equazione a4 – 2n – 2b4 = c2 prendendo x = c, y = ab, z = a4 + 2n – 2b4 o dalle soluzioni dell’equazione 2n – 2b4a4 = c2 prendendo x = c, y = ab, z = a4 + 2n – 2b4 (Eulero, Lagrange, Lebesgue);

  • l’equazione x4 – 2ny4 = z2 ha soluzioni intere non banali se e solo se n ha la forma 4k + 1 (Eulero, Lebesgue); le soluzioni si ottengono dalle soluzioni dell’equazione a4 + 2n – 2b4 = c2 prendendo x = c, y = ab, z = a4 – 2n – 2b4(Eulero, Lagrange, Lebesgue).

 

Le ultime due soluzioni permettono di ricondurre la soluzione di un’equazione della forma x4 ± 2ny4 = z2 con n dispari a un’equazione analoga, nella quale l’esponente di 2 è inferiore di due unità, continuando poi a ridurre l’esponente sino ad arrivare alle equazioni:

  • x4 + 23y4 = z2 le cui minime soluzioni sono { x = 1, y = 1, z = 3 }, { x = 6, y = 7, z = 113 }, { x = 13, y = 239, z = 57123 } { x = 9492, y = 7967, z = 262621633 };

  • x4 – 2ny4 = z2 le cui minime soluzioni sono { x = 3, y = 2, z = 7 }, { x = 113, y = 84, z = 7967 }.

Vedi anche

Cubi, Potenze, Quadrati.

Bibliografia

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.