Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Senza nome (costanti)

Sequenze  Vari 

Vi sono alcune costanti che non hanno un nome universalmente riconosciuto, ma sono tuttavia interessanti; le ho raggruppate sotto questa voce.

 

Un gruppo di costanti particolarmente interessanti è stato scoperto nel 2019 da Dylan Fridman, Juli Garbulsky, Bruno Glecer, James Grime e Massi Tron Florentin.

Questi matematici definirono, la sequenza Formula per la definizione di f(1) e Formula per la definizione di f(n), dopodichè dimostrarono la straordinaria proprietà Massimo intero non superiore a f(n) uguale a p(n).

Da una sola costante si ricavano tutti i numeri primi in ordine.

La costante è uguale alla somma dei reciproci dei primoriali (v. primoriali per un’ottima approssimazione).

 

La costante era già stata trovata in un modo completamente differente; infatti, definendo an come il minimo primo che non divide n, si ottiene la sequenza: 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 7, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 7, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 7, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2…; chiaramente an = 2 per n dispari, an = 3 per n pari, ma non multiplo di 3, an = 3 per n multiplo di 6, ma non di 5 e così via. La sequenza contiene interi che crescono senza limite, perché apn = pn + 1, ma anche infiniti 2. La media della sequenza tende alla stessa costante.

 

Gli stessi matematici dimostrarono che allo stesso modo si può ricavare una costante analoga, con la stessa proprietà, da qualsiasi sequenza an non decrescente di interi, che inizi con a1 > 1 e tale che an < 2an – 1 – 1 e che tutte queste costanti sono irrazionali.

Abbiamo quindi infinite costanti del genere, una per ogni sequenza che non cresca troppo rapidamente:

  • per gli interi positivi a partire da 2 la costante è Formula per il calcolo della costante a partire dalla quale si ottengono tutti gli interi a partire da 2;
  • per i quadrati a partire da 9 la costante è Formula per il calcolo della costante a partire dalla quale si ottengono tutti i quadrati a partire da 9;
  • per i cubi a partire da 64 la costante è Formula per il calcolo della costante a partire dalla quale si ottengono tutti i cubi a partire da 64;
  • per i biquadrati partire da 1296 la costante è Formula per il calcolo della costante a partire dalla quale si ottengono tutti i biquadrati a partire da 1296;
  • per le potenze (senza ripetizione) a partire da 8 la costante è circa 8.2301107723;
  • per i numeri composti la costante è circa 4.5892461266;
  • per i numeri triangolari a partire da 6 la costante è circa 6.7570526385;
  • per i numeri di Fibonacci a partire da 2 la costante è circa 2.9569388914.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei quadrati a partire da 9.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei cubi a partire da 64.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei biquadrati a partire da 1296.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione delle potenze a partire da 8.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei numeri composti.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei numeri triangolari a partire da 6.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei numeri di Fibonacci a partire da 2.

 

La sequenza da generare non deve essere strettamente crescente; con lo stesso metodo si possono quindi trovare costanti che permettano di generare tutti i numeri di una sequenza, ciascuno ripetuto più volte.

In alcuni casi le costanti assumono una forma particolarmente semplice; per esempio, iniziando con Formula per il calcolo della costante a partire dalla quale si ottengono tutti gli interi a partire da 2, ciascuno ripetuto n volte si ottengono tutti gli interi positivi a partire da 2, ciascuno ripetuto n volte e iniziando con Formula per il calcolo della costante a partire dalla quale si ottengono tutti i numeri primi, ciascuno ripetuto n volte si ottengono i primi in ordine, ciascuno ripetuto n volte.

 

I.A. Weinstein trovò nel 2020 un’altra costante analoga: Formula per la definizione di h(1), punto di partenza della sequenza Formula per la definizione di h(n), per la quale vale la proprietà Minimo intero non inferiore a h(n) uguale a p(n).

 

Anche in questo caso si può ricavare una costante analoga, con la stessa proprietà, da qualsiasi sequenza an crescente di interi, che inizi con a1 > 1 e tale che an – 1 + 1 < an < 2an – 1 per n > 1; anche tutte queste costanti sono irrazionali.

Abbiamo quindi infinite costanti del genere, una per ogni sequenza che non cresca troppo rapidamente:

  • per i quadrati a partire da 9 la costante è Formula per il calcolo della costante a partire dalla quale si ottengono tutti i quadrati a partire da 9;
  • per i cubi a partire da 64 la costante è Formula per il calcolo della costante a partire dalla quale si ottengono tutti i cubi a partire da 64;
  • per i biquadrati partire da 1296 la costante è Formula per il calcolo della costante a partire dalla quale si ottengono tutti i biquadrati a partire da 1296;
  • per le potenze (senza ripetizione) a partire da 8 la costante è circa 7.0903177783;
  • per i numeri composti la costante è circa 3.2917293611;
  • per i numeri triangolari a partire da 6 la costante è circa 5.5725533407;
  • per i numeri di Fibonacci a partire da 2 la costante è circa 1.2524359922.

 

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei numeri primi.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei quadrati a partire da 9.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei cubi a partire da 64.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei biquadrati a partire da 1296.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione delle potenze a partire da 8.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei numeri composti.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei numeri triangolari a partire da 6.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante per la generazione dei numeri di Fibonacci a partire da 2.

 

Come nel caso della costante di Mills, per calcolare una di queste costanti bisogna conoscere i numeri che permette di generare, o più precisamente per calcolarla con precisione tale da poter generare i primi n termini della successione, servono almeno altrettanti termini.

Vedi anche

Numeri primi.

Bibliografia

  • Fridman, Dylan;  Garbulsky, Juli;  Glecer, Bruno;  Grime James;  Massi Tron, Florentin;  "A Prime-Representing Constant" in American Mathematical Monthly, The Mathematical Association of America, vol. 126, n. 1, 2019, pag. 70-73.

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