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log(x)

Analisi  Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Storia
  3. 3. Formule per il calcolo della funzione
  4. 4. Serie
  5. 5. Integrali indefiniti
  6. 6. Integrali definiti semplici

Il nome “logaritmo” fu attribuito nel 1614 da John Napier (Merchiston Tower, Scozia, 1/2/1550 – Edinburgo, Scozia, 4/4/1617) in Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrizione della meravigliosa regola dei logaritmi), pubblicato postumo nel 1619, che ne spiegava l’uso e includeva le prime tavole (naturalmente calcolate a mano).

La definizione originale di Napier era diversa da quella attuale, ma analoga: i suoi logaritmi, che chiameremo “Nlog” sono legati a quelli consueti dalla formula Formula per il calcolo dei logaritmi di Napier.

Con questa definizione si ottengono logaritmi leggermente più scomodi da maneggiare di quelli in base 10, ma che soddisfano importanti relazioni, analoghe a quelle dei logaritmi naturali, come Formula per la sostituzione di un prodotto con una somma di logaritmi di Napier quindi hanno l’importante vantaggio di trasformare moltiplicazioni, divisioni e calcoli di potenze ed estrazioni di radici n-esime in somme, sottrazioni e moltiplicazioni e divisioni per n.

Tramite i logaritmi, naperiani o naturali, una lunga sequenza di complicate operazioni veniva convertita in una sequenza di operazioni molto più agevoli da svolgere lavorando manualmente, trasformando i termini nei corrispondenti logaritmi tramite tabelle; restava poi da trasformare il logaritmo del risultato nel valore voluto, sempre tramite tabelle.

Nel 1615 Henry Briggs (Warleywood, Inghilterra, 1/2/1561 – Oxford, Inghilterra, 26/1/1630) visitò Napier e suggerì una modifica alla formula, che portò alla definizione dei logaritmi detti “comuni”, ovvero in base 10.

In onore di Napier i logaritmi “naturali”, ossia in base e, sono anche chiamati “logaritmi naperiani”:

 

Nel 1617 Briggs calcolò la prima tabella di logaritmi in base 10 e in particolare la tabella dei numeri primi minori di 100. Nello stesso anno lui e Napier pubblicarono Logarithmorum Chilias Prima, ovvero una tabella dei logaritmi dei primi 1000 numeri naturali, con 14 cifre di precisione. Il libro fece comprendere l’importanza dei logaritmi, ma anche la necessità di tabelle estese e precise per permetterne l’uso, innescando una corsa alla tavola più grande. Cito alcune tra le tappe più significative:

  • nel 1624 Briggs pubblicò Arithmetica logarithmica sive logarithmorum chiliades triginta, pro numeris naturali serie crescentibus ab unitate 20,000 et a 90,000 ad 100,000, (Aritmetica logaritmica o trenta migliaia di logaritmi per la serie di numeri naturali crescenti dall’unità a 20.000 e da 90.000 a 100.000) contenente la tabella dei logaritmi degli interi da 1 a 20000 e da 90001 a 100000 con 14 cifre di precisione;
  • nel 1628 Adriaan Vlacq (Gouda, Olanda, 1600 – The Hague, Olanda, 8/4/1667) completò il lavoro di Briggs, pubblicando Arithmetica logarithma sive logarithmorum chiliades tentum, pro numeris naturali serie crescentibus ab unitate ad 100000 (Aritmetica logaritmica o cento migliaia di logaritmi per la serie dei numeri naturali crescenti dall’unità a 100.000), ossia la tabella dei logaritmi degli interi da 1 a 100000 con 10 cifre di precisione, calcolata insieme con Ezechiel de Decker (Leiden, Olanda, c. 1603 – c. 1643), al quale alcuni storici attribuiscono la gran parte del merito del lavoro; la tabella conteneva solo 603 errori, un numero straordinariamente piccolo, per un lavoro manuale che comportava la scrittura di oltre due milioni di cifre;
  • nel 1792 la neonata Repubblica Francese commissionò delle tavole dei logaritmi degli interi fino a 100000 con 19 cifre decimali e da 100000 a 200000 con 24; il responsabile del progetto, Gaspard de Prony (Chamelet, Francia, 22/7/1755 – Asnières-sur-Seine, Francia, 29/7/1839) scelse una mezza dozzina di matematici esperti, che selezionarono formule e algoritmi per guidare una squadra di una novantina di calcolatori umani, alcuni dei quali erano camerieri o addetti alle parrucche, ritrovatisi disoccupati dopo il cambio di regime, capaci solo di calcolare eseguendo precise istruzioni; nel 1796, a progetto quasi terminato, il governo se ne disinteressò e il gigantesco manoscritto non fu mai pubblicato; ora è conservato all’Osservatorio di Parigi.
  • nel 1794 Jurij Bartolomej Vega (Zagorica pri Dolskem, Slovenia, 23/3/1754 – Nußdorf, Austria, 26/9/1802) pubblicò Thesaurus Logarithmorum Completus (Raccolta completa di logaritmi), contenente tabelle di logaritmi di funzioni trigonometriche e la tabella di Vlacq, nella quale corresse numerosi errori; per valutare l’importanza di queste tabelle, basti dire che il testo di Vega fu ristampato sino al 1924.
  • nel 1871 Edward Sang (1805 – 1890) pubblicò la tabella dei logaritmi degli interi da 100000 a 370000 con 15 cifre di precisione e la tabella dei logaritmi dei numeri primi fino a 10037 con 28 cifre di precisione; queste tabelle e altre di funzioni trigonometriche occupano una cinquantina di volumi e sono il risultato di oltre 40 anni di lavoro;
  • nel 1924 Alexander John Thompson (Plaistow, Inghilterra, 1885 – Wallington, Inghilterra, 17/6/1968) iniziò a lavorare a una tabella dei logaritmi degli interi da 1 a 100000 con 20 cifre di precisione, ma quando terminò il lavoro, nel 1949, la sua opera (pubblicata poi nel 1952 col titolo Logarithmetica britannica) era già obsoleta, perché i primi calcolatori elettronici potevano sfornare tavole anche più precise molto rapidamente.

Le tavole di Briggs, Vlacq e Vega rimasero in uso per tre secoli, e una traduzione in russo del lavoro di Thompson in due volumi Logarifmy čisel ot 10000 do 55000, Logarifmy čisel ot 55000 do 100000 fu stampata nel 1964 e ristampata addirittura nel 1972.

 

Nel 1668 James Gregory (Drumoak (Scozia), 11/1638 – Edinburgh, 10/1675) pubblicò la prima espansione in serie del logaritmo (v. coefficienti di Gregory).

 

Il concetto di logaritmo come esponente fu pienamente sviluppato solo da Eulero.

 

Nel 1770 Johann Heinrich Lambert, (August 26, 1728, Mulhouse, Francia, 26/8/1728 – Berlino, 25/9/1777) pubblicò la prima frazione continua per il calcolo del logaritmo.

 

I logaritmi sono alla base del funzionamento del regolo calcolatore, che per circa tre secoli e mezzo è stato il principale strumento di calcolo tascabile. Con tacche disposte in scala logaritmica, trasforma moltiplicazioni e divisioni in somme e differenze di segmenti, permettendo di arrivare vicini a tre cifre di precisione. Opportune scale permettono poi di calcolare funzioni trigonometriche, radici, esponenziali o altre funzioni di interesse in uno specifico campo applicativo.

La precisione non è sufficiente per la gran parte delle applicazioni moderne, ma permette comunque di stimare rapidamente un’approssimazione del valore desiderato, da raffinare eventualmente con carta e penna.

 

Nel 1620 Edmund Gunter (Inghilterra, 1581 – Londra, 10/12/1626), accortosi che riportando una scala logaritmica su un righello poteva moltiplicare numeri sommando segmenti con l’aiuto di un compasso, descrisse in The description and use of sector, the cross-staffe, and other instruments for such as are studious of mathematical practise (La descrizione e l’uso del settore, la ballestriglia e altri strumenti per coloro che sono studiosi di pratica matematica) il “righello di Gunter”, predecessore del regolo; era una sorta di righello con graduazione logaritmica, senza parti in movimento: un compasso doveva essere usato per riportare e sommare o sottrarre i logaritmi. La prima descrizione dello strumento sembra però risalire a Edmund Wingate (1596 – Londra, 1656) in L’usage de la reigle de proportion en l’arithmetique & geometrie (L’uso della regola delle proporzioni nell’aritmetica e nella geometria), pubblicato a Parigi nel 1624.

Willian Oughtred (Eton, Inghilterra, 5/3/1574 – Albury, Inghilterra, 30/6/1660) perfezionò lo strumento, eliminando il compasso, sostituito da una seconda scala scorrevole rispetto alla prima. Nel 1630 inventò un regolo circolare con un disco fisso e uno mobile e nel 1632 combinò due righelli di Gunter, ottenendo uno strumento simile al regolo moderno, una sorta di righello con un’asta scorrevole.

Oughtred però non pubblicò subito la sua invenzione, cosa che invece fece nel 1630 un suo allievo, Richard Delamain (Londra, 1600 – 1644), lasciando Oughtred a dir poco indignato e amareggiato; la disputa sulla paternità dello strumento si protrasse, come prevedibile, fino alla morte di uno dei contendenti.

 

Seguirono vari perfezionamenti:

  • nel 1650 Oughtred perfezionò lo strumento, rendendo scorrevole la parte centrale del regolo, come nei modelli odierni;
  • nel 1677 Henry Coggeshall (1623 – 1691) creò un regolo pieghevole lungo due piedi (circa 62 cm), detto “regolo del carpentiere” per il calcolo di superficie e volume delle assi, estendendone per la prima volta l’uso al di fuori dell’ambito matematico e nel 1782 ne spiegò l’uso in A Treatise of Measuring by a Two-foot Rule, which slides to a Foot (Un trattato sulla misura tramite un regolo da due piedi, che scorre per un piede);
  • nel 1722 Warner introdurre regoli con due e tre decadi;
  • nel 1755 Everard incluse una scala inversa;
  • nel 1815 Peter Mark Roget (Londra, 18/1/1779 – West Malvern, Inghilterra, 12/9/1869) aggiunse una scala con il logaritmo del logaritmo, che permetteva un facile calcolo di potenze con esponente frazionario:
  • nel 1802 Nathaniel Bowditch (Salem, Stati Uniti, 26/3/1773 – Boston, 16/3/1838) descrisse in The American Practical Navigator (Il Navigatore pratico americano) un regolo scorrevole che conteneva scale per funzioni trigonometriche e i loro logaritmi, utile per la soluzione di problemi di navigazione;
  • nel 1848 lo scozzese Paul Cameron introdusse una variante, appositamente studiata per la navigazione, che includeva ascensione retta e declinazione del Sole e delle principali stelle e ne spiegò l’uso in The nautical slide rule (Il regolo scorrevole nautico);
  • nel 1859 l’ufficiale di artiglieria francese Victor Mayer Amédée Mannheim (Parigi, 17/7/1831 – Parigi, 11/12/1906) inventò un regolo praticamente uguale a quello moderno, con il cursore scorrevole.

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