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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule per il calcolo della funzione
  3. 3. Serie e prodotti
  4. 4. Integrali
  5. 5. Altre formule
  6. 6. Valori

La funzione csc(x) è la funzione cosecante, menzionata per la prima volta nel 1596 da Georg Joachim de Porris, più noto come Rheticus (Feldkirch, Austria, 16/2/1514 – Košice, Slovacchia, 4/12/1574).

 

Secondo la definizione geometrica originale, in un triangolo rettangolo la cosecante di un angolo il rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa.

La definizione fu poi estesa a tutti i numeri reali e in seguito ai complessi, definendo la cosecante come reciproco del seno, ovvero csc(x) = 1 / sin(x).

 

In questo sito la cosecante è sempre indicata come reciproco del seno.

 

Dalla definizione segue immediatamente che la funzione è dispari, periodica con periodo 2π, tende a infinito quando l’argomento tende a nπ e a 2nπ+, a meno infinito quando l’argomento tende a nπ+ e a 2nπ; ha un minimo uguale a 1 quando l’argomento è (2 * n + 1 / 2) * π e un minimo uguale a –1 quando l’argomento è (2 * n + 3 / 2) * π.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione.

 

Grafico della funzione cosecante

 

 

I valori della funzione sono trascendenti per argomenti algebrici, sono algebrici se l’argomento ha la forma m / n * π con m e n interi e si possono esprimere come combinazione finita delle quattro operazioni e dell’estrazione di radice quadrata se e solo se n è una potenza di 2 (incluso 1) per il prodotto di primi di Fermat distinti (anche nessuno).

 

La definizione può essere estesa all’intero piano complesso tramite la formula 1 / sin(z) = 2 * i / (e*(i * z) – e^(–i * z)) = 2 * i * e*(i * z) / (e*(2 * i * z) – 1), ovvero 1 / sin(x ± i * y) = 1 / (sin(x) * cosh(y) ± i * cos(x)*sinh(y)).

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