Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

La funzione ζk è definita come Formula per la definizione della funzione ζk, dove il prodotto va calcolato sui numeri naturali con esattamente k fattori primi, non necessariamente distinti; per k = 1 abbiamo la funzione ζ.

 

Alcune formule che coinvolgono le funzioni ζk:

Formula che coinvolge la funzione ζk;

Formula che coinvolge la funzione ζk;

Formula che coinvolge la funzione ζk, per n intero maggiore di 1.

 

Queste funzioni permettono di calcolare alcuni prodotti infiniti sui numeri naturali con numero fissato di fattori primi (per la definizione di Ak(r) v. costanti di Artin di ordine r) (Richard J. Mathar, 2011):

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk e in particolare Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk e in particolare Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk e in particolare Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk e in particolare Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk, per s pari e in particolare Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk, per s dispari e in particolare Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk e in particolare Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk e in particolare Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk e in particolare Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk;

Prodotto infinito che coinvolge la funzione ζk.

 

Le tabelle seguenti mostrano alcuni valori approssimati di ζk(n) per k da 2 a 4 e n da 2 a 12 (Richard J. Mathar, 2011).

n

ζ2(n)

2

1.154135429131192212753136476082653062021377019769166311601

3

1.024230611826986151158175158755009852679023950490214554774

4

1.005015172899917179827401698652291294164076627857960524772

5

1.001137144097153269444733210594786272022830561556805839703

6

1.000268773319796626045829352019049130925353448777275622774

7

1.000064937119208710399247524597916121342642545376082696815

8

1.000015888762704374180969521932691056219718849573814329451

9

1.000003917599435801201288001083572332107127973809390534197

10

1.000000970605519540457698447691588436106985664105867746091

11

1.000000241217232784709472971654363631286102379240142530861

12

1.000000060068608308578085912628099422424825142999323470824

n

ζ3(n)

2

1.039432429030409444149806920521673410679212706746148280292

3

1.003056125733692715934271390834372275666674738470640544373

4

1.000314507983058618456827094397066630425050030824169155161

5

1.000035578360205492419327661940592089489174843096220340325

6

1.000004201291691977098551061424155872921133219822741524992

7

1.000000507389042251328731405257671868967853054036047135925

8

1.000000062068139946907813780148372010808995726576667040951

9

1.000000007651664785056457877351300502168705881798866985821

10

1.000000000947860936856417390158481965876008262486022523638

11

1.000000000117782004432039022814899184474717980169845755406

12

1.000000000014665193378639871887901001332108989045782221764

n

ζ4(n)

2

1.010069659181975191078741060439035427876588103787130676067

3

1.000384011077316192420561416488116578273502799964152453503

4

1.000019679948504124660855296987073387779196556022576263542

5

1.000001112106579607264579274143875169225449518083026268097

6

1.000000065648673607782540354304127473976972447884634538215

7

1.000000003964020108633384822995698964455986578036971179818

8

1.000000000242454206776351387845438137782168399984862743746

9

1.000000000014944664405752269172969167215376338782896827053

10

1.000000000000925645528057890635386834145659663652892281940

11

1.000000000000057510745364142948158605083885270190381157305

12

1.000000000000003580369489719342307308508350305504446132847

 

La tabella seguente mostra i valori approssimati di Prodotto per k da 1 a infinito di ζk(n) per n da 2 a 10.

n

 

2

2

3

3 * π / cosh(sqrt(3) * π / 2)

4

4 * π / sinh(π)

5

1.0381450173

6

12 * π^2 / (1 + cosh(sqrt(3) * π))

7

1.0084152724

8

16 * π^3 / (sinh(π) * (cosh(sqrt(2) * π) – cos(sqrt(2) * π)))

9

1.0020123260

10

1.0009955476

 

Le tabelle seguenti mostrano alcuni valori approssimati di Prodotto sui numeri con k fattori primi di (n^s – 1) / (n^s + 1), dove il prodotto va calcolato sugli interi con esattamente k fattori primi, per k da 1 a 4 (Richard J. Mathar, 2011).

s

Prodotto sui numeri con un fattore primo di (n^s – 1) / (n^s + 1)

2

2 / 5

3

0.704072487320784478296298199978624458092583781119988293242884

4

6 / 7

5

0.930967939958520284033728872221718554673617521060811182585725

6

691 / 715

7

0.983568510511728007936144959029969386664664363392162577192746

8

7234 / 7293

s

Prodotto sui numeri con 2 fattori primi di (n^s – 1) / (n^s + 1)

2

0.754499701709514078355718168950541987025077644358722338909979

3

0.953501120267507619195724656948780658097471099446350601963684

4

0.990060339240150340510303763520931737419783647516969651298673

5

0.997730553624228952992631533134776646504723190210043449878780

6

0.999462730036393010562666801735890308203188619330023373330279

7

0.999870142148595354702394013511164698444556351264029248220202

8

0.999968223465111892640840105738664881674415326754216354245125

s

Prodotto sui numeri con 3 fattori primi di (n^s – 1) / (n^s + 1)

2

0.925857274712893127998882138207158415278450218191966021532765

3

0.993919830234581988800555498147896650698380465169147914350777

4

0.999371342684423825202796134016609821126691137699898568119928

5

0.999928848024661518528748225035933938760888742676503394739919

s

Prodotto sui numeri con 4 fattori primi di (n^s – 1) / (n^s + 1)

2

0.980180131878250176004512771774827343256288810830408969770989

 

Le tabelle seguenti mostrano i valori approssimati di Prodotto sui numeri maggiori di 2 e con k fattori primi di 1 – 1 / (n – 1)^s, dove il prodotto va calcolato sugli interi con esattamente k fattori primi, per k da 1 a 4 e s da 2 a 5 (Richard J. Mathar, 2011). In particolare per k = 1 e s = 2 si ha la costante dei primi gemelli.

s

Prodotto sui numeri maggiori di 2 e con un fattore primo di 1 – 1 / (n – 1)^s

2

0.6601618158468695739278121100145557784326233602847334133194

3

0.8553921020033986085509619238173369142779617326343761891909

4

0.9329472788050225154245474117724776691267802933315976922689

5

0.9676641641449273928684588284554067020603735049395556363790

s

Prodotto sui numeri maggiori di 2 e con 2 fattori primi di 1 – 1 / (n – 1)^s

2

0.8045082612474742003477609755804840258842916235384411373425

3

0.9507543513576159108562851848128299370568198257735656138328

4

0.9856013155080764416552558374557003044523758203959126811851

5

0.9955134067603972588631219139726981275567920402258163509688

s

Prodotto sui numeri maggiori di 2 e con 3 fattori primi di 1 – 1 / (n – 1)^s

2

0.9550572882298700493014462558041415734147334017474337181150

3

0.9957472030934113787540687306667347661629225361751865362705

4

0.9994884471180270660931453925494333667590005538061096053390

5

0.999932947887271875019211361923619823854671560349775644808

s

Prodotto sui numeri maggiori di 2 e con 4 fattori primi di 1 – 1 / (n – 1)^s

2

0.9892051323193015395807816797711957195936925403036958416322

3

0.9995497160906745509662751060657004870141623046341572587167

4

0.9999751268767094622618062255772478610135549582924856688974

5

0.999998490529076495094430461010984203017854835139390019305

 

La tabella seguente mostra i valori approssimati di Prodotto sui numeri da 2 a infinito di 1 – 1 / (n^s * (n – 1)), per s da 1 a 5 (Richard J. Mathar, 2011).

s

Prodotto sui numeri da 2 a infinito di 1 – 1 / (n^s * (n – 1))

1

0.593350269487182069140310040438285729729663038357895781633

2

0.861465028009033072712078741634897482256486581138963373814

3

0.943588586975055819450398681669287957384984288942155352763

4

0.974894913359018345579696732396272984272954782066491224441

5

0.988286601083665561883354705652451815692957697529740408374

 

Le tabelle seguenti mostrano i valori approssimati di Prodotto sui numeri maggiori di 2 e con k fattori primi di 1 – 1 / (n^s * (n – 1)), dove il prodotto va calcolato sugli interi maggiori di 2 con esattamente k fattori primi, per k da 1 a 4 e s da 1 a 5 (Richard J. Mathar, 2011). In particolare per k = 1 e s = 2 si ha la costante del numero di classe quadratico.

s

Prodotto sui numeri maggiori di 2 e con un fattore primo di 1 – 1 / (n^s * (n – 1))

1

0.704442200999165592736603350326637210188586431417098049414

2

0.881513839725170776928391822903227847129869257208076733670

3

0.947733262143675375939521537654189613033631632317413852828

4

0.975824153047668241679011436594799831971764971229212609442

5

0.988504397741246908751106623851186664400958083275346188120

s

Prodotto sui numeri maggiori di 2 e con 2 fattori primi di 1 – 1 / (n^s * (n – 1))

1

0.884490615792645569156126530213936198197151790687002628832

2

0.980376289243855939864938619579944255828568405323127482357

3

0.995928002832231110330556534959384975519658530911655791754

4

0.999080621322852565861019671107083386967236557968329389061

5

0.999783481766640731283537327557402867111772830353712345808

s

Prodotto sui numeri maggiori di 2 e con 3 fattori primi di 1 – 1 / (n^s * (n – 1))

1

0.964758474366761979144138911837762037272106901540505442479

2

0.997235390988435066639517992790322243014456604416487473356

3

0.999717415940667569960015810241340983047451116331199660541

4

0.999968172024482705270548857407825523042346422728579249674

5

0.999996250854906273732628391333715607260086058728852979934

s

Prodotto sui numeri maggiori di 2 e con 4 fattori primi di 1 – 1 / (n^s * (n – 1))

1

0.990393442303116742704510324208970590429148773419205301803

2

0.999634762421613451087385734159581784386619475630152927741

3

0.999981370624803353143270623749614063667365657870395981306

4

0.999998949807673405679237367569730617874479395755489593508

5

0.999999938086969714053459138631507932333794604460092491194

 

La tabella seguente mostra i valori approssimati di Prodotto sui numeri da 2 a infinito di 1 – 2 / n^s, per s da 2 a 5 (Richard J. Mathar, 2011).

s

Prodotto sui numeri da 2 a infinito di 1 – 2 / n^s

2

0.216954294377476369356864039063437596599913299714241452950

3

0.640575909221546133846815305854929804642156633120487523553

4

0.840695833076274061650473710681177939252057653860271740567

5

0.926880857710656853256795504739069232524104014194213179034

 

Le tabelle seguenti mostrano i valori approssimati di Prodotto sui numeri con k fattori primi di 1 – 2 / n^s, dove il prodotto va calcolato sugli interi con esattamente k fattori primi, per k da 1 a 4 e s da 2 a 5 (Richard J. Mathar, 2011). In particolare Costante di Feller – Tornier è la costante di Feller – Tornier.

s

Prodotto sui numeri con un fattore primo di 1 – 2 / n^s

2

0.322634098939244670579531692548237066570950579665832709961

3

0.676892737009881993610237326724389212797678397459788845273

4

0.849732991384718766265053703629160439892820104242861046497

5

0.929059192959662815115245871984200623766376123420999266247

s

Prodotto sui numeri con 2 fattori primi di 1 – 2 / n^s

2

0.746546589392028395045090198448531702307441861924359721333

3

0.952981131498858970286460835642413457907291749293329766096

4

0.990028758685057521928151579163269491391556722507312328948

5

0.997728614956085550822520064832476818851830182381404991433

s

Prodotto sui numeri con 3 fattori primi di 1 – 2 / n^s

2

0.925267218004050491882112057709653605835184213438593596030

3

0.993911463538908938115880607314708743157809479259098501054

4

0.999371218596872044721227851298066869151465994816088393076

5

0.999928846129017559729606214395367084797186701036127260135

s

Prodotto sui numeri con 4 fattori primi di 1 – 2 / n^s

2

0.980141423819685616602097797704982658698681266298832028699

3

0.999232354384330965293278269072153569836124255417702962004

4

0.999960641022410557951000962330383249199360087979036126331

5

0.999997775789625477894415002081234674890918717170135941506

 

Vedi anche

Funzione Pk, Funzione ζ.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.