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Pseudopotenze

Teoria dei numeri 

Una pseudopotenza Lp(n) è un intero, che non è una potenza n-esima, ma che è un residuo n-esimo modulo tutti i primi non superiori a un primo p.

 

Se m è una pseudopotenza Lp(n), mk è una pseudopotenza Lp(kn).

 

S. Konyagin, Carl Pomerance e Igor E. Shparlinski dimostrarono nel 2007 che Lp(n) ≤ e0.88715p, per p abbastanza grande.

Carl Pomerance e Igor E. Shparlinski dimostrarono nel 2007 che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann generalizzata, per la minima pseudopotenza n-esima modulo p vale Limite superiore per la minima pseudopotenza n-esima modulo p, per una costante c che dipende da n e p > 2.

 

E. Bach, R. Lukes, J. Shallit e Hugh C. Williams dimostrarono nel 1996 che, supponendo vera una variante dell’ipotesi di Riemann, Limite inferiore per la minima pseudopotenza n-esima modulo p, per una costante c che dipende da k.

 

Dato che p# + 1 e 2p# + 1 sono entrambi pseudopotenze modulo p e non possono essere entrambi potenze n-esime, la minima pseudopotenza n-esima modulo p non può superare 2p# + 1.

 

La tabella seguente mostra le minime pseudopotenze per esponenti fino a 10, modulo i primi fino a 47; rispetto agli pseudoquadrati i valori sono diversi, perché non è richiesto che siano della forma 8k + 1 (M. Fiorentini, 2020).

p \ n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

7

5

7

5

7

5

7

5

7

5

19

7

31

7

19

7

31

7

19

7

79

13

121

11

169

11

121

13

79

11

331

13

331

23

169

13

331

13

331

13

751

83

841

23

2731

17

841

83

529

17

1171

83

5461

23

5251

19

6631

83

529

19

5251

83

10201

23

5251

23

10201

911

529

23

10651

83

10201

43

6889

29

10201

911

1849

29

18379

83

32041

43

6889

31

145861

911

1849

31

78439

463

32041

43

214369

41

375631

1217

4489

37

78439

4187

375631

43

4823911

41

375631

31123

4489

41

399499

4187

1229881

43

13434331

43

3418801

31123

466489

43

644869

4187

1229881

47

17530969

47

11095561

102829

466489

47

1394611

4187

1229881

53

17530969

53

11095561

102829

466489

 

 

La tabella seguente mostra le minime pseudopotenze prime per esponenti fino a 10, modulo i primi fino a 47; rispetto agli pseudoquadrati i valori sono diversi, perché non è richiesto che siano della forma 8k + 1 (M. Fiorentini, 2020).

p \ n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

7

5

7

5

7

5

7

5

7

5

19

7

31

7

19

7

31

7

19

7

79

13

151

11

211

11

151

13

79

11

331

13

331

23

379

13

331

13

331

13

751

83

991

23

2731

17

991

83

991

17

1171

83

19891

23

20749

19

19891

83

2311

19

7459

83

19891

23

20749

23

19891

911

7459

23

10651

83

61051

43

20749

29

92821

911

51349

29

18379

83

145861

43

173629

31

145861

911

61051

31

78439

463

375631

43

1658749

41

375631

1217

644491

37

78439

5179

375631

43

4823911

41

375631

31123

644491

41

399499

5179

13434331

43

13434331

43

20718751

31123

12617749

43

644869

15287

13434331

47

129332659

47

25959781

102829

12617749

47

1427911

15287

25959781

53

160847779

53

25959781

102829

60559951

 

Una versione particolare, studiata da E. Bach, R. Lukes, J. Shallit e Hugh C. Williams nel 1996 è quella delle pseudopotenze con una base fissata, ossia interi congruenti a una potenza della base, non necessariamente sempre la stessa, modulo tutti i primi dispari non superiori a un primo p. La condizione che una pseudopotenza non sia una vera potenza fa escludere 1.

Per esempio, 11 è la minima pseudopotenza di 2 modulo 7, perché 21 ≡ 11 mod 3, 24 ≡ 11 mod 5 e 22 ≡ 11 mod 7 e nessun intero positivo inferiore ha le stesse proprietà.

 

I quattro matematici dimostrarono che la minima pseudopotenza di 2 rispetto a p è minore di e1.000081p e, supponendo una versione dell’ipotesi di Riemann, non minore di Limite inferiore per la minima pseudopotenza in base 2 modulo p, per una costante c.

 

La tabella seguente mostra le prime pseudopotenze di 2, 3 e 5 per p fino a 313 (E. Bach, R. Lukes, J. Shallit e Hugh C. Williams, 1996).

Primo

Minima pseudopotenza di 2

Minima pseudopotenza di 3

Minima pseudopotenza di 5

2

3

5

3

3

5

7

5

5

7

7

11

7

11

13

11

11

23

31

31

13

23

157

31

17

43

157

31

19

43

157

311

23

127

841

311

29

127

859

961

31

1087

859

3931

37

1087

1543

3931

41

1087

6241

3931

43

2209

6241

3931

47

2837

6241

3931

53

2837

6241

3931

59

2837

6241

32761

61

2837

36481

32761

67

2837

170041

96721

71

7603

241081

2048071

73

115669

1515361

2048071

79

115669

1515361

3962941

83

115669

1515361

3962941

89

1062839

1515361

15942061

97

4007837

1515361

15942061

101

4007837

1515361

15942061

103

4007837

16226731

15942061

107

4007837

32913169

15942061

109

4007837

52078027

15942061

113

38863631

52078027

15942061

127

101665279

52078027

15942061

131

101665279

52078027

15942061

137

234556697

52078027

15942061

139

234556697

52078027

1049824801

149

234556697

52078027

1049824801

151

1848054121

872200213

1049824801

157

1848054121

872200213

1049824801

163

1848054121

872200213

1049824801

167

1848054121

872200213

1049824801

173

1848054121

872200213

1049824801

179

1848054121

1327190419

1049824801

181

1848054121

8479278889

537343041691

191

1848054121

8479278889

6791126548441

193

1848054121

89400402001

6791126548441

197

1848054121

89400402001

6791126548441

199

1848054121

89400402001

6791126548441

211

1848054121

89400402001

6791126548441

223

3131990286049

89400402001

6791126548441

227

3131990286049

89400402001

6791126548441

229

41398091214971

89400402001

6791126548441

233

335444151885977

89400402001

6791126548441

239

663176716985449

89400402001

6791126548441

241

10600009924847711

89400402001

28764591571409101

251

28185732773917153

89400402001

88428973201069961

257

306313044048233909

89400402001

 

263

 

89400402001

 

269

 

89400402001

 

271

 

384810485528569

 

277

 

384810485528569

 

281

 

384810485528569

 

283

 

384810485528569

 

293

 

384810485528569

 

307

 

2346816388490401

 

311

 

2346816388490401

 

313

 

150139363999760521

 

 

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