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Colossalmente abbondanti (numeri)

Teoria dei numeri 

Un numero naturale n si dice colossalmente abbondante se esiste un esponente e maggiore di 1 tale che Rapporto reso massimo dai numeri colossalmente abbondanti abbia il valore massimo per k = n.

 

Furono studiati per la prima volta da Ramanujan, che pubblicò un articolo su di essi nel 1915.

 

Aumentano al diminuire del valore di e e sono infiniti.

 

Tutti i numeri colossalmente abbondanti sono superabbondanti; i primi 15 sono anche altamente composti superiori.

 

Leonidas Alaoglu e Paul  Erdös dimostrarono nel 1944 che ciascuno è uguale al precedente moltiplicato per un numero primo o per due numeri primi e che nella scomposizione di un numero colossalmente abbondante l’esponente di ogni primo p è Rapporto reso massimo dai numeri colossalmente abbondanti; di conseguenza ogni numero colossalmente abbondante è il prodotto di primi consecutivi, a partire da 2, ciascuno elevato a un esponente non maggiore di quello del precedente.

Gli stessi matematici congetturarono che ciascuno sia uguale al precedente moltiplicato per un numero primo; la congettura è nota come “congettura di Alaoglu e Erdös”.

 

Erdös e J.-L. Nicolas dimostrarono nel 1975 che per certi valori di e potrebbero esserci due o quattro numeri con uguale valore massimo di Rapporto reso massimo dai numeri colossalmente abbondanti, ma che, se vale la congettura sopra riportata, ve ne sono al massimo due.

 

Se vi sono eccezioni alla diseguaglianza di Robin, equivalente all'ipotesi di Riemann, sono numeri colossalmente abbondanti.

 

Ramanujan dimostrò che se n è colossalmente abbondante:

  • Limite inferiore che coinvolge σ(n);

  • Limite superiore che coinvolge σ(n).

 

Esistono infiniti numeri colossalmente abbondanti n tali che logn < p, dove p è il massimo fattore primo che divide n, quindi esistono infiniti numeri colossalmente abbondanti che non sono estremamente abbondanti (Sadegh Nazardonyavi e Semyon Yakubovich, 2014).

 

I primi 20 sono riportati nella tabella seguente.

n

Scomposizione di n

 σ(n) / n

2

2

1.5

6

2 • 3

2

12

22 • 3

 2.3

60

22 • 3 • 5

2.8

120

23 • 3 • 5

 3

360

23 • 32 • 5

3.25

2520

23 • 32 • 5 • 7

3.714285

5040

24 • 32 • 5 • 7

3.8380952

55440

24 • 32 • 5 • 7 • 11

4.1870129

720720

24 • 32 • 5 • 7 • 11 • 13

 4.509

1441440

25 • 32 • 5 • 7 • 11 • 13

4.581

4324320

25 • 33 • 5 • 7 • 11 • 13

4.699300

21621600

25 • 33 • 52 • 7 • 11 • 13

4.8559440

367567200

25 • 33 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17

5.1415878239

6983776800

25 • 33 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 19

5.4121977094

160626866400

25 • 33 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 19 • 23

5.6475106533

321253732800

26 • 33 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 19 • 23

5.6923321664

9316358251200

26 • 33 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 19 • 23 • 29

5.8886194825

288807105787200

26 • 33 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31

6.0785749497

2021649740510400

26 • 33 • 52 • 72 • 11 • 13 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31

6.1871209309

6064949221531200

26 • 34 • 52 • 72 • 11 • 13 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31

6.2386802720

224403121196654400

26 • 34 • 52 • 72 • 11 • 13 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 37

6.4072932523

 

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