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Pseudoprimi ordinari

Teoria dei numeri 

Dato un polinomio P(x) a coefficienti interi con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1, se p è primo, la somma delle p-esime potenze delle radici è congruente alla somma delle radici modulo p.

Per esempio, se P è di quarto grado e le radici sono x1, x2, x3 e x4, x(1)^p + x(2)^p + x(3)^p + x(4)^p ≡ x(1) + x(2) + x(3) + x(4) mod p.

Un intero composto n si dice “pseudoprimo simmetrico” rispetto al polinomio P, se ha la stessa proprietà, ossia se la somma delle n-esime potenze delle radici è congruente alla somma delle radici modulo n.

 

numeri di Carmichael sono pseudoprimi ordinari rispetto a qualsiasi polinomio con tutte le radici intere.

 

Gli pseudoprimi ordinari rispetto a un polinomio P di primo grado xc sono quindi gli pseudoprimi di Fermat rispetto al valore assoluto del termine costante c del polinomio.

 

Gli pseudoprimi ordinari rispetto a un polinomio di secondo grado (xa)(xb), con a e b interi, sono gli pseudoprimi di Fermat rispetto sia ad a che a b (e quindi in particolare i numeri di Carmichael) e gli interi n composti tali che an + bna + b mod n.

Per esempio, i numeri n minori di 106 tali che 2n + 3n ≡ 2 + 3 mod n, escludendo gli pseudoprimi di Fermat sia rispetto a 2 che a 3, sono: 4, 15, 92, 285, 345, 627, 1653, 1991, 10465, 10718, 16059, 16455, 17227, 22765, 37297, 47593, 51635, 80041, 80185, 82621, 93927, 130577, 160035, 200305, 204263, 219452, 250705, 265489, 282615, 409124, 488761, 492101, 733033, 841861, 977581.

 

I numeri n minori di 106 pseudprimi ordinari rispetto al polinomio (x – 2)(x – 3)(x – 5), escludendo gli pseudoprimi di Fermat rispetto a 2, 3 e 5, sono: 8, 14, 15, 56, 356, 376, 565, 1208, 1946, 2047, 8792, 16841, 36121, 50721, 522074, 554204, 811921, 938265.

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