Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Primi di Zsigmondy

Teoria dei numeri 

Nel 1892 K. Zsigmondy dimostrò che per ogni coppia di interi a e b primi tra loro, con a > 1 e b > 0, e ogni intero n > 2, an + bn ha almeno un fattore primo primitivo, ossia un primo che divide an + bn, ma non alcun am + bm con m < n, tranne alcune eccezioni e che lo stesso vale per e anbn (v. potenze).

Si chiamano “primi di Zsigmondy” rispetto alla coppia (a, n) i fattori primi primitivi di an – 1.

Una definizione equivalente è che dati due interi a e n maggiori di 1, un numero primo che non divide a si chiama “primo di Zsigmondy” rispetto alla coppia (a, n) se ordp(a) = n.

 

Se p è un primo di Zsigmondy rispetto alla coppia (a, n), p divide Φn(a), dove Φn(a) ora e nel seguito è l’n-esimo polinomio ciclotomico.

 

Se a e n sono maggiori di 1 e un primo p divide Φn(a), p divide n se e solo se non è un primo di Zsigmondy rispetto alla coppia (a, n); in questo caso p è il massimo fattore primo di n e p2 non divide Φn(a), tranne nel caso p = n = 2. Di conseguenza se non ci sono primi di Zsigmondy rispetto alla coppia (a, n) e p è il massimo fattore primo di n, Φn(a) = p o p = n = 2 e Φn(a) è una potenza di 2.

 

Se p è un primo di Zsigmondy rispetto alla coppia (a, n), n divide p – 1, quindi pn + 1. Un primo di Zsigmondy si dice “grande” se p > n + 1 o p2 divide an – 1.

Una definizione equivalente è he un primo di Zsigmondy rispetto alla coppia (a, n) è grande se e solo se la massima potenza di p che divide an – 1 è maggiore di n + 1.

 

Walter Feit dimostrò nel 1988 che esistono primi grandi di Zsigmondy per tutte le coppie (a, n) con a e n maggiori di 1, tranne nei seguenti casi:

  • a = 2s3t – 1 e n = 2;

  • a = 2 e n = 4, 6, 10, 12 o 18;

  • a = 3 e n = 4 o 6;

  • a = 5 e n = 6.

 

Walter Feit dimostrò nel 1988 che:

  • se per la coppia (a, n) esistono primi di Zsigmondy, ma nessun primo grande di Zsigmondy, l’unico primo di Zsigmondy per quella coppia è n + 1 e se n > 2, Φn(a) = n + 1 o Φn(a) = p(n + 1), dove p è il massimo fattore primo di n (Walter Feit, 1988);

  • fissato un intero positivo m, per tutte le coppie (a, n) con a > 1 e n > 2 tranne un numero finito di eccezioni esiste un primo di Zsigmondy p rispetto alla coppia (a, n), tale che la massima potenza di p che divide an – 1 è maggiore di mn + 1.

Vedi anche

Numeri primi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.