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Pseudoprimi ellittici forti

Teoria dei numeri 

Come nel caso degli pseudoprimi di Femat esistono pseudoprimi forti di Fermat, che passano esami di primalità più stringenti, nel caso degli pseudoprimi ellittici si possono definire “pseudoprimi ellittici forti” gli pseudoprimi ellittici, che passano esami di primalità più stringenti.

Uno pseudoprimo ellittico n rispetto alla curva equazione y2 = x3 + ax + b, con a e b interi e D = –16(4a3 + 27b2) è uno pseudoprimo ellittico forte se n + 1 = 2st, con t dispari, n e 6D sono primi tra loro e vale una delle due seguenti condizioni:

  • tPO mod n,

  • 2rtPQ mod n, con 2Q = O, per un valore di r tale che 0 ≤ r < s.

 

Uno pseudoprimo ellittico forte che sia tale per qualsiasi scelta del punto P sulla curva si dice “numero di Carmichael ellittico forte” rispetto alla curva.

 

Gli pseudoprimi ellittici di Eulero e gli pseudoprimi ellittici forti sono casi particolari degli pseudoprimi ellittici, esattamente come gli pseudoprimi di Eulero (I) e gli pseudoprimi forti di Fermat sono casi particolari degli pseudoprimi di Fermat; mentre però nel caso di questi ultimi tutti gli pseudoprimi forti di Fermat sono pseudoprimi di Eulero, la stessa relazione non vale tra gli pseudoprimi ellittici: nel 2010 Siguna Müller dimostrò che 676258600736819377469073681570025709 = 47737 • 275183 • 1212119 • 2489759 • 3178891 • 5366089 è pseudoprimo ellittico forte rispetto alla curva y2 = x3 − 3500x − 98000 e al punto (84, 884), ma non è pseudoprimo ellittico di Eulero rispetto alla stessa curva e allo stesso punto.

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