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Primi di n-Lerch (congetture sui)

Congetture  Teoria dei numeri 

Nel 2018 René Gy avanzò due congetture sui primi di n-Lerch.

 

La prima riguarda la possibilità di suddividere i numeri primi in due insiemi digiunti: quelli che sono primi di n-Lerch per esattamente un valore di n e quelli per i quali Somma dei quadrati dei quozienti di Fermat qp(n) per n da 1 a p – 1 congruente a 0 modulo p, dove qp(n) è il quoziente di Fermat. I primi noti che soddisfano la congruenza sono 2, 11 e 971; se ve ne sono altri, sono maggiori di 106 (M. Fiorentini, 2020).

Gy dimostrò che:

  • per tali primi e solo per essi vale B(p – 1) – 1 + 1 / p  congruente a (B(2 * p – 2) – 1 + 1) / 1 modulo p^2;

  • per tutti i restanti primi, se sono primi di n-Lerch per un valore di n, non lo sono per alcun altro valore di n.

La congettura è molto plausibile, perché se esistesse un primo di n-Lerch p che soddisfa la congruenza, sarebbe primo di n-Lerch per tutti i valori di n da 1 a p – 1.

La congettura implica che nessun primo possa essere simultaneamente un primo di Lerch e di Wilson.

 

La seconda afferma che esiste almeno un primo di n-Lerch per ogni valore di n. Le prime ricerche non avevano trovato alcun primo di 2-Lerch, ma in seguito fu trovato 207953.

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