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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori e proprietà
  4. 4. Espressione di interi come somma di numeri triangolari
  5. 5. Espressione di interi come somma di numeri triangolari e altri addendi

Ogni intero positivo si può esprimere come somma di 3 numeri triangolari (la prima dimostrazione nota è di Gauss, nel 1796, ma Fermat aveva asserito d’aver dimostrato il teorema oltre un secolo prima).

 

Nel 2015 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che tutti i numeri naturali tranne 225 possono essere rappresentati come Tp – 1 + Tx + Ty, con p primo (v. congetture di Zhi-Wei Sun sulla rappresentazione dei numeri naturali come somme).

 

Sono state compiute varie ricerche sul numero tk(n) di rappresentazioni di n come somma di k numeri triangolari, anche nulli, considerando distinte le permutazioni degli addendi e sul numero pk(n) di partizioni di n in k numeri triangolari anche nulli, non considerando distinte le partizioni che differiscono per una permutazione degli addendi

Per esempio, t3(30) = 13, perché vi sono le seguenti rappresentazioni di 30:

  • 28 + 1 + 1,

  • 1 + 28 + 1,

  • 1 + 1 + 28,

  • 21 + 6 + 3,

  • 21 + 3 + 6,

  • 6 + 21 + 3,

  • 6 + 3 + 21,

  • 3 + 21 + 6,

  • 3 + 6 + 21,

  • 15 + 15 + 0,

  • 15 + 0 + 15,

  • 0 + 15 + 15,

  • 10 + 10 + 10.

Invece p3(30) = 4, perché vi sono le seguenti partizioni di 30:

  • 28 + 1 + 1,

  • 21 + 6 + 3,

  • 15 + 15 + 0,

  • 10 + 10 + 10.

 

Non si conosce una formula generale semplice per tk(n), ma se ne conoscono per vari casi particolari. Ramanujan trovò formule per calcolare tk(n) per k pari.

 

Michael D. Hirschhorn e James A. Sellers dimostrarono nel 1996 che:

  • p3(27n + 12) = 3p3(3n + 1) e la stessa relazione vale se si considerano solo le partizioni in numeri triangolari distinti;

  • t3(27n + 12) = 3t3(3n + 1);

  • t3(27n + 21) = 5y3(3n + 2);

  • t3(81n + 3) = 4t3(9n);

  • t3(81n + 57) = 4t3(9n + 6);

  • t3(3n + 1) è uguale al numero di rappresentazioni di 24n + 11 come somma di tre quadrati dispari;

  • t3(27n + 12) è uguale al numero di rappresentazioni di 216n + 99 come somma di tre quadrati dispari.

 

E’ stato dimostrato che t2(n) > 0, ossia n è rappresentabile come somma di 2 numeri triangolari, se e solo se 2(4n + 1) è somma di due quadrati (necessariamente dispari) e quindi è il prodotto di un quadrato per una potenza di 2 e per un numero che ha solo fattori primi della forma 4k + 1 (v. quadrati). Pertanto se tra i fattori primi di 8n + 2 ve n’è uno della forma 4k + 3 elevato a una potenza con esponente dispari, n non è rappresentabile come somma di due soli numeri triangolari.

 

J.A. Ewell dimostrò nel 1992 che t2(n) = d1(4n + 1) – d3(4n + 1), dove dk(n) è il numero di divisori di n congruenti a k modulo 4.

 

Ken Ono, Sinai Robins e Patrick T. Wah dimostrarono vari teoremi sul numero di rappresentazioni dei numeri naturali come somma di numeri triangolari, tra i quali i seguenti:

  • tk(n) è uguale al numero di rappresentazioni di 8n + k come somma di k quadrati dispari;

  • Formula per il calcolo di t2(n) e Formula per il calcolo di t3(n), dove le potenze di 2 a denominatore derivano dal fatto che in r2(n) si considerano tutte le combinazioni di segni delle basi dei quadrati (v. funzione rk);

  • Formula per il calcolo di t6(n), dove χ(n) = 1, se n ≡ 1 mod 4, χ(n) = –1, se n ≡ 3 mod 4;

  • Formula per il calcolo di t8(n), dove la somma va calcolata sui divisori d di n + 1 tali che (n + 1) / d sia dispari;

  • Formula per il calcolo di t24(n), dove la somma va calcolata sui divisori d di n + 3 tali che (n + 3) / d sia dispari;

  • Formula per il calcolo di t24(p^(k+1) – 3), per p primo.

 

t4(n) = σ(2n + 1) (Legendre). Per esempio, σ(25) = 31 e 12 si può esprimere in 31 modi come somma di 4 numeri triangolari:

  • 10 + 1 + 1 + 0 (12 permutazioni degli addendi);

  • 6 + 6 + 0 + 0 (6 permutazioni degli addendi);

  • 6 + 3 + 3 + 0 (12 permutazioni degli addendi);

  • 3 + 3 + 3 + 3 (1 permutazione degli addendi).

 

I quadrati che si possono esprimere come somma di 3 numeri triangolari consecutivi si ricavano dalla ricorrenza an = 9an – 1 + 4bn – 1 + 2, bn = 2an – 1 + bn – 1 + 1, iniziando con a0 = 0, b0 = 1 o con a0 = 1, b0 = 1: nelle due sequenze vale Tan – 1TanTan + 1 = (an + bn)2 (Tom Beldon e Tony Gardiner, 2002). Per esempio, nel primo caso abbiamo a1 = 6, b1 = 2 e T5 + T6 + T7 = 15 + 21 + 28 = 64 = (6 + 2)2 e nel secondo caso abbiamo a1 = 15, b1 = 4 e T14 + T15 + T16 = 105 + 120 + 136 = 361 = (15 + 4)2.

Le soluzioni possono anche essere trovate prendendo Formula per il calcolo di n o Formula per il calcolo di n, per qualsiasi intero positivo k, quindi calcolando Formula per il calcolo di m: in questo caso Tm – 1 + Tm + Tm + 1 = n2.

 

I quadrati che si possono esprimere come somma di 4 numeri triangolari consecutivi si ricavano dalle formule Formula per il calcolo di m e Formula per il calcolo di n per qualsiasi intero positivo k; in questo caso Tm – 2 + Tm – 1 + Tm + Tm + 1 = n2. Per esempio, per k = 1 abbiamo m = 7 e n = 10 e T5 + T6 + T7 + T8 = 15 + 21 + 28 + 36 = 100 = 102.

 

Ogni quarta potenza maggiore di 1 si può esprimere come somma di due numeri triangolari in almeno due modi diversi: n4 = Tn2 – 1Tn2Tn2n – 1 + Tn2 + n – 1.

 

Liouville dimostrò nel 1862 che esistono solo 7 combinazioni di interi a, b e c tali che ogni intero positivo si possa esprimere come aTx + bTy + cTz, con x, y e z interi anche nulli:

  • [ 1, 1, 1 ],

  • [ 1, 1, 2 ],

  • [ 1, 1, 4 ],

  • [ 1, 1, 5 ],

  • [ 1, 2, 2 ],

  • [ 1, 2, 3 ],

  • [ 1, 2, 4 ].

 

Nel 2015 Zhi-Wei Sun propose la congettura che ogni numero naturale possa essere rappresentato come Somma di tre massimi interi non superiori a tre numeri triangolari divisi per a, b e cMassimo intero non superiore a T(x) / a + T(y) / b più il massimo intero non superiore a T(z) / c e Massimo intero non superiore a T(x) / a più il massimo intero non superiore a T(y) / b + T(z) / c, per qualsiasi terna di interi positivi a, b e c, con abc; il matematico cinese dimostrò la congettura nei casi a = b = 1, c = 3 e, per la sola prima forma, a = b = c = 3 (v. congetture di Zhi-Wei Sun sulla rappresentazione dei numeri naturali come somme).

Zhi-Wei Sun propose inoltre la congettura che ogni numero naturale sia rappresentabile come Somma di tre minimi interi non inferiori a tre numeri triangolari divisi per a, b e c.

 

Nel 2010 Ben Kane e Zhi-Wei Sun dimostrarono che alcune espressioni della forma aTx + bTy + cTz, con x, y e z interi anche nulli, permettono di rappresentare tutti gli interi positivi, tranne un numero finito di eccezioni. La tabella seguente riporta alcuni dei risultati dei due matematici (le eccezioni riportate sono quelle note, non è stato dimostrato che non ve ne siano altre).

Espressione

Eccezioni

4Tx + 3Ty + 2Tz

1, 8, 31

5Tx + 2Ty + 2Tz

1, 3, 10, 16, 28, 43, 46, 85, 169, 175, 211, 223

5Tx + 4Ty + Tz

2

6Tx + 2Ty + Tz

4, 50

9Tx + 2Ty + Tz

4, 46

10Tx + Ty + Tz

5, 8

11Tx + 2Ty + Tz

4, 25

13Tx + Ty + Tz

5, 8, 32, 53

22Tx + 2Ty + Tz

4, 11, 14, 19, 46, 54

 

Nel 2010 Ben Kane e Zhi-Wei Sun dimostrarono che:

  • tutti gli interi abbastanza grandi si possono esprimere come Tx + Ty + aTz con a della forma 2nm con m dispari e n diverso da 3 se e solo se n è pari o minore di 5 e tutti i fattori primi dispari di a sono della forma 4k + 1.

  • tutti gli interi abbastanza grandi si possono esprimere come Tx + 2Ty + aTz con a della forma 2nm con m dispari se e solo se tutti i fattori primi dispari di a sono della forma 8k + 1 o 8k + 3 e a è della forma 8k + 1 oppure n è dispari o minore di 4.

  • tutti gli interi abbastanza grandi si possono esprimere come 2n(Tx + 2Ty) + aTz con n diverso da 2 se e solo se n è 1 e tutti i fattori primi dispari di a sono della forma 4k + 1.

 

Ogni intero positivo si può esprimere come somma di numeri triangolari distinti, tranne: 2, 5, 8, 12, 23 e 33.

 

J.A. Eulero, figlio di L. Eulero, dimostrò nel 1772 che ogni intero positivo si può esprimere come somma di 12 quadrati di numeri triangolari. Pollock dimostrò nel 1851 che ne bastano 11.

Non si può far di meglio, perché ne servono 11 per rappresentare 35: 35 = 3 • 32 + 8 • 12.

 

Ogni intero è rappresentabile come differenza di numeri triangolari, perché n = TnTn – 1; M.A. Nyblom dimostrò nel 1999 che il numero di rappresentazioni di un intero n come differenza di numeri triangolari è uguale al numero di divisori dispari di n e di conseguenza gli unici interi rappresentabili solo come differenza di numeri triangolari consecutivi sono le potenze di 2 (v. numeri trapezoidali).

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Gardner, Martin;  The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Majumdar, A.A.K.;  Wandering in the World of Smarandache Numbers, InProQuest, 2010 -

    Il libro contiene alcune dimostrazioni errate o lacunose.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Sierpiński, Wacław Franciszek;  Elementary Theory of Numbers, Amsterdam, North-Holland, 1988.
  • Wells, David;  The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Londra, Penguin Books, 1986.

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