Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Si dice “sequenza di Earls” di un numero irrazionale la sequenza di indici delle cifre decimali a partire dalle quali per la prima volta appaiono almeno n cifre n consecutive. Per esempio, la sequenza di Earls di π inizia con 1, 135, 1698, perché la prima sequenza di un 1 inizia con la prima cifra decimale, la prima di due 2 alla 135-esima, la prima di tre 3 alla 1698-esima e così via.

Non è detto che esista una sequenza di Earls non vuota per ogni data costante, anche trascendente, perché non è detto che la rappresentazione decimale della costante contenga sequenze di cifre identiche o un 1; per esempio, la sequenza è vuota nel caso del doppio del numero di Liouville.

La sequenza invece esiste sicuramente nel caso di numeri normali, come il numero di Champernowne, ma non è detto che sia semplice trovarne i termini, che potrebbero essere enormi.

Le sequenze normalmente comprendono 9 termini, per le cifre da 1 a 9, ma molte sono interrotte prima, semplicemente perché non si conosce il termine successivo, che non è detto esista.

 

La tabella seguente mostra i termini noti delle sequenze di Earls di alcune costanti.

Costante

Valore approssimato

Sequenza di Earls

Numero di Champernowne

0.1234567891 1, 34, 56, 1222, 1555, 25554, 29998, 433330, 7988888882, 1101010101010, 1222222222222, 158585858585858, 172727272727272, 21515151515151514, 23131313131313130, 2797979797979797978, 2979797979797979796, 352525252525252525250, 372727272727272727270, …

Numero di Copeland – Erdös

0.2357111317

5, 113, 1181, 21670, 263423, 7815547, 35619942, 402720247, 450680638

γ

0.5772156649

5, 139, 163, 10359, 86615, 193446, 236542, 6186099, 36151186

Costante di Golomb – Dickman

0.6243299885

28, 256, 1967, 387, ?

log2

0.6931471806

4, 419, 2114, 3929, 38451, 716837, 6180096, 10680693, 2539803904

Costante di Catalan

0.9159655942

2, 107, 1225, 596, 32187, 185043, 20444527, 92589355, 3487283621

Costante di Apéry

1.2020569032

10, 57, 3938, 421, 41813, 1625571, 4903435, 99713909, ?

Costante di Glaisher – Kinkelin

1.2824271291

7, 14, 2264, 1179, 411556, ?

Costante di Pitagora

1.4142135624

2, 114, 1481, 3308, 72459, 226697, 969836, 119555442, 2971094743

Costante di Soldner – Ramanujan

1.4513692349

3, 42, 178, 10013, 31567, 600035, 1253449, ?

φ

1.6180339887

2, 62, 158, 1216, 72618, 2905357, 7446157, 41398949, 1574998166

Costante di Teodoro (I)

1.8600250792

27, 215, 1651, 2279, 21640, 176497, 7728291, 77659477, 638679423

log10

2.3025850930

20, 111, 56, 9041, 4767, 674596, 24611354, 64653957, 131278082

Costante di Khinchin

2.6854520011

9, 42, 1799, 494, 5760, ?

e

2.7182818285

2, 252, 1361, 11806, 210482, 9030286, 3548262, 141850388, 1290227011

π

3.1415926536

1, 135, 1698, 54525, 24466, 252499, 3346228, 46663520, 564665206

 

Nel caso di π non si conoscono sequenze di n copie di n, per n > 9, nonostante siano stati esaminati i primi 11 miliardi di cifre.

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