Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Coppie di Ormiston

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “coppie di Ormiston” le coppie di numeri primi consecutivi che si scrivono con le stesse cifre, come se fossero anagrammi l’uno dell’altro.

Il nome si deve a Andy Edwards, che le studiò mentre lavorava nel college di Ormiston, presso Brisbane (Australia).

 

Non esistono coppie di Ormiston di 2 o 3 cifre: il requisito che i due primi siano consecutivi esclude coppie come (13, 31). La minima coppia di Ormiston è (1913, 1931).

 

Le coppie di Ormiston minori di 105 sono:

(1913, 1931),

(18379, 18397),

(19013, 19031),

(25013, 25031),

(34613, 34631),

(35617, 35671),

(35879, 35897),

(36979, 36997),

(37379, 37397),

(37813, 37831),

(40013, 40031),

(40213, 40231),

(40639, 40693),

(45613, 45631),

(48091, 48109),

(49279, 49297),

(51613, 51631),

(55313, 55331),

(56179, 56197),

(56713, 56731),

(58613, 58631),

(63079, 63097),

(63179, 63197),

(64091, 64109),

(65479, 65497),

(66413, 66431),

(74779, 74797),

(75913, 75931),

(76213, 76231),

(76579, 76597),

(76679, 76697),

(85313, 85331),

(88379, 88397),

(90379, 90397),

(90679, 90697),

(93113, 93131),

(94379, 94397),

(96079, 96097),

(97213, 97231),

(98737, 98773).

 

Sono anche possibili sequenze più lunghe:

  • la minima terna è (11117123, 11117213, 1111732) (Robert G. Wilson V):

  • la minima quadrupla è (6607882123, 6607882213, 6607882231, 6607882321) (Jens Kruse Andersen, 2006);

  • la minima quintupla è (20847942560791, 20847942560917, 20847942560971, 20847942561079, 20847942561097) (Giovanni Resta, 2012);

  • la minima sestupla è probabilmente (6607882123, 6607882213, 6607882231, 6607882321) (Jens Kruse Andersen, 2012);

  • un’ottupla è 27853205133922751374230491248074151534244472231210475955696928877237978891600000 + (7813, 7831, 8137, 8173, 8317, 8371, 8713, 8731) (Jens Kruse Andersen, 2006);

  • una nonupla è 26460346024426922096587598498580390201381951306930145595901871467050710000 + (7839, 7893, 7983, 8379, 8397, 8739, 8793, 8937, 8973) (Jens Kruse Andersen, 2006).

In una sequenza del genere le differenze tra termini successivi sono multiple di 18.

 

La minima coppia scritta con due sole cifre è (1333313, 1333331); la minima terna è 1311111133113111000 + (133, 313, 331).

 

La massima coppia nota è p, p + 18, dove p = 521410567 • 28851 + 4)(28851 − 4) − 1 (5338 cifre).

 

La massima coppia nota probabile, ossia di primi probabili, è p, p + 1260, dove p = 1383603831 • 298305 + 1 (29602 cifre) (David Underbakke e Phil Carmody, 2001).

 

Una via di mezzo è la coppia p, p + 1440, dove p = 1081300689 • 298305 – 1439 (29602 cifre), nella quale p + 1440 è sicuramente primo, ma p è solo probabilmente primo.

 

La coppia con la massima differenza nota è p, p + 37782, con p = 52555725910882618861120484315030042860328662480447631832363520558769221133607887211360255496225450939300988994684265609641841325052720074918193211214443383418209616598413275259415072329023047952904366205228850346795006128579112145147251732630526973817614132179879643082371067396323100788759647844347768582331043747814613053498332579226294079460289426028327922143240715371096829697967653619416529806004002671665898843003663403464806214749696616497726850604739822019811706142352554092190333831413500357190745652690836927619333533300560339909471401898441810950382335426199881681983164992364497773699023787281077376280110851583616934749688402544787995918513504951626060592585025644908900255369230567773920256644486627163823194854730741925372375036041954553090879952965379173129270664550880090442565894016774169916741788108243090530666141975694025308465795498504695113834951670729314409503261488552584000735324080421534802851939790012002859454316216257305134656063129127350675201217695544868484987186303787745300831510651918373099549370567725495727920574731290819747663004119 (1070 cifre) (Torbjörn Alm e Jens Kruse Andersen, 2004).

 

La massima sequenza nota è 525757495441803442717492498764034464327799121693439999138711693468834684694811733417824869323091440096985981362311458246963658448487473078458295925908243895767856758544353346362923506931855823115355157377176264540764766503062427771069279577271660654563558693962129533233232851087980362856522539938656745729079339380601951512380425166013538717552146518683513420966988218008083603399237574640423676806512698083756364813030099395037557165813133280246144358196990053540646287067918011777810796047420110334151184452207601592281843241059001825391520875918137630090548062577447833570253212683867379248949172566196920324525508874469214290061133655530041533233660590559543093985894984380910965097723480094683533560369577344269783477009393941539692795269486356722753522850092070822595801801333439611475653867843619726106490963093023847315560025477169376164365042536688559994140155058094946223202957075832611993276199866424759164594817727294720307633597480289711815496991872281261569527767888721253039470089461149792442700000 + (19723, 21973, 27139, 27319, 29713) (1014 cifre).

 

Ogni numero maggiore di 119639 può essere espresso come somma di elementi di coppie di Ormiston.

 

La definizione si può generalizzare ad altre basi; la tabella seguente riporta le minime coppie di Ormiston nelle basi fino a 20.

Base

Coppia

2

11 = 10112, 13 = 11012

3

5 = 123, 7 = 213

4

23 = 1134, 29 = 1314

5

7 = 125, 11 = 215

6

5749 = 423416, 5779 = 424316

7

131 = 2457, 137 = 2547

8

1583 = 30578, 1597 = 30758

9

719 = 8789, 727 = 8879

10

1913, 1931

11

787 = 65611, 797 = 66511

12

45139 = 2215712, 45161 = 2217512

13

1789 = A7813, 1801 = A8713

14

37061 = D71314, 37087 = D73114

15

113 = 7815, 127 = 8715

16

4831 = 12DF16, 4861 = 12FD16

17

1933 = 6BC17, 1949 = 6CB17

18

247957 = 2695718, 247991 = 2697518

19

4373 = C2319, 4391 = C3219

20

49559 = 63HJ20, 49597 = 63JH20

 

In particolare sono infinite se è vera la congettura di Dickson (M. Fiorentini, 2020), perché esisterebbero infinite coppie di numeri della forma 300300n + 231113 e 300300n + 231131 entrambi primi, mentre i numeri dispari intermedi non sarebbero primi, perché per ogni intero n:

  • 300300n + 231115 è multiplo di 5;

  • 300300n + 231117 è multiplo di 3;

  • 300300n + 231119 è multiplo di 7;

  • 300300n + 231121 è multiplo di 11;

  • 300300n + 231123 è multiplo di 3;

  • 300300n + 231125 è multiplo di 5;

  • 300300n + 231127 è multiplo di 13;

  • 300300n + 231129 è multiplo di 3.

 

La dimostrazione può essere generalizzata a varie combinazioni di cifre finali, a qualsiasi base e a n-uple di qualsiasi lunghezza.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.