Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Π(n) è il prodotto dei primi che dividono n, ciascuno preso una sola volta, ovvero Formula per la definizione della funzione Π. Per esempio: Π(2) = –2 e Π(12) = –2 • –3 = 6.

Pertanto se p è primo, Π(p) = p, Π(nk) = Π(n) e la funzione è moltiplicativa.

 

La funzione è detta anche “radicale di n” e spesso è indicata come rad(n).

 

Per la crescita asintotica della somma dei valori vale la formula Formula per crescita asintotoca della somma dei valori della funzione Π (v. costante di Hafner – Sarnak – McCurley).

 

La tabella seguente riporta i primi valori.

n

Π(n)

1

1

2

2

3

3

4

2

5

5

6

6

7

7

8

2

9

3

10

10

11

11

12

6

13

13

14

14

15

15

16

2

17

17

18

6

19

19

20

10

 

La differenza tra i valori della funzione per interi consecutivi è dispari, perché uno dei prodotti contiene il fattore 2 e l’altro no. La differenza è 1 se uno dei due interi è primo e l’altro non è multiplo di un quadrato, quindi con ogni probabilità Π(n + 1) – Π(n) = ± 1 infinite volte. In realtà non è stato dimostrato che esistano infiniti primi uguali a un prodotto di primi distinti più o meno uno, ma gli esperti sono convinti che siano infiniti anche solo quelli della forma 2p ± 1 e in particolare i primi di Sophie Germain.

E’ abbastanza plausibile che, fissato k dispari e maggiore di 1 in valore assoluto, l’equazione Π(n + 1) – Π(n) = k abbia una numero finito di soluzioni; in effetti, nel 2003 J.M. De Koninck e F. Luca dimostrarono che, se vale la congettura “abc”, le soluzioni sono in numero finito, per k dispari e |k| > 1.

La tabella seguente riporta le soluzioni minori di 109 dell’equazione Π(n + 1) – Π(n) = k, per k sino a 100 (De Koninck).

k

n

3

4, 49

7

9, 12

11

20, 27, 288, 675, 71199

13

18, 252, 3024

15

16, 28

17

1681, 59535, 139239, 505925

19

98, 135, 11375

21

25, 299, 18490

23

75, 1215, 1647, 2624

27

52, 39325

29

171, 874, 1616, 4374

31

32, 36, 40, 45, 60, 1375

39

76, 775

41

50, 63000

43

56, 84

45

22747, 182182

47

92, 1444, 250624

49

54, 584, 21375, 23762, 71874, 177182720

53

147, 315, 9152, 52479

55

512, 9408, 12167, 129311

59

324, 4239

67

72, 88, 132, 5576255

69

82075, 656914

71

140, 3509, 114375

73

872, 1274, 3249

75

148, 105412, 843637

79

81, 104, 117, 156, 343, 375, 7100, 47375, 76895

83

164, 275, 5967, 33124, 89375, 7870625, 38850559

85

126, 1016, 16128, 471968, 10028976

89

531, 11736

91

96, 100, 1050624

93

832, 201019, 1608574

97

3807, 4067, 12716, 73304

99

112, 1975, 8575

Come si vede, non si conoscono soluzioni per k uguale a 5, 9, 25, 33, 35, 37, 51, 57, 61, 63, 65, 77, 81, 87 e 95.

 

Per n > 1, σ(n) > Π(n); in alcuni casi σ(n) è un multiplo di una potenza di Π(n).

I minimi valori di n per i quali σ(n) sia multiplo di Π(n) sono: 1, 6, 24, 28, 40, 54, 96, 120, 135, 216, 224, 234, 270, 360, 384, 486, 496, 540, 588, 600, 640, 672, 864, 891, 936, 1000, 1080, 1350, 1372, 1521, 1536, 1638, 1782, 1792, 1920, 1944, 2016, 2160, 2176, 3000, 3240, 3375, 3402, 3456, 3564, 3724, 3744, 3780, 4320. Qui trovate i 5327 interi minori di 109 con questa proprietà.

I minimi valori di n per i quali σ(n) sia multiplo di Π(n)2 sono: 1, 96, 864, 1080, 1782, 6144, 7128, 7776, 17280, 27000, 28512, 54432, 55296, 69984, 87480, 114048, 215622, 276480, 381024, 393216, 432000, 433026, 456192, 497664, 629856, 675000, 862488, 1382400, 1399680, 1677312, 1732104, 1824768, 2187000, 2195424, 2667168. Qui trovate i 151 interi minori di 109 con questa proprietà.

Vi sono solo due valori inferiori a 109 per quali σ(n) sia multiplo di Π(n)3: 3538944 e 286654464.

 

La tabella seguente riporta i minimi valori di n per i quali σ(n) sia multiplo di Π(n)k.

k

n

1

6

2

96

3

3538944

4

1969874477011854950

I numeri con questa proprietà sono infiniti per ogni valore di k, perché comprendono i numeri della forma 2r3s, con r e s di forme opportune.

In particolare:

  • σ(n) è multiplo di Π(n) per tutti i numeri della forma n = 22a32b – 1, con a e b maggiori di zero, perché Π(n) = 6 e Formula per il valore di σ(n), che è multiplo di 6;

  • σ(n) è multiplo di Π(n)2 per tutti i numeri della forma n = 26a – 132b – 1, con a e b maggiori di zero, perché Π(n)2 = 62 = 36 e ,Formula per il valore di σ(n), che è multiplo di 36.

 

Vi sono numeri naturali tali che il prodotto delle cifre sia uguale al radicale; appartengono alla categoria tutti i numeri di una sola cifra non multipli di quadrati, inclusi i numeri primi; la tabella seguente mostra i numeri del genere minori di 109 nelle basi fino a 20 (M. Fiorentini, 2015).

Base

Numeri

2

-

3

23 = 2, 1213 = 16

4

24 = 2, 34 = 3, 3124 = 54

5

25 = 2, 35 = 3, 1125 = 32, 3115 = 81

6

26 = 2, 36 = 3, 56 = 5, 126 = 8, 136 = 9, 15136 = 405, 51136 = 1125

7

27 = 2, 37 = 3, 57 = 5, 67 = 6, 1217 = 64, 1327 = 72, 1357 = 75, 1567 = 90, 2137 = 108, 3217 = 162, 112537 = 2880, 215137 = 5400, 312517 = 7680

8

28 = 2, 38 = 3, 58 = 5, 68 = 6, 78 = 7, 1768 = 126, 7528 = 490

9

29 = 2, 39 = 3, 59 = 5, 69 = 6, 79 = 7, 1609 = 135, 2149 = 175, 10069 = 735, 15469 = 1176, 23159 = 1715, 2206069 = 131712

10

2, 3, 5, 6, 7, 135, 175, 735, 1176, 1715, 131712

11

211 = 2, 311 = 3, 511 = 5, 611 = 6, 711 = 7, A11 = 10, 25311 = 300, 37111 = 441, 73211 = 882, 1761111 = 24696, 112517311 = 1968750

12

212 = 2, 312 = 3, 512 = 5, 612 = 6, 712 = 7, A12 = 10, B12 = 11, 1612 = 18, 11612 = 162, B5612 = 1650

13

213 = 2, 313 = 3, 513 = 5, 613 = 6, 713 = 7, A13 = 10, B13 = 11, 12513 = 200, 15613 = 240, 3BA13 = 660, 65113 = 1080, 1751213 = 44800

14

214 = 2, 314 = 3, 514 = 5, 614 = 6, 714 = 7, A14 = 10, B14 = 11, D14 = 13, 1214 = 16, 11614 = 216, 1B214 = 352, 3DA14 = 780, 315714 = 8505

15

215 = 2, 315 = 3, 515 = 5, 615 = 6, 715 = 7, A15 = 10, B15 = 11, D15 = 13, E15 = 14, 11315 = 243, 11A15 = 250, 12115 = 256, 17615 = 336, 1B615 = 396, 27515 = 560, 2D515 = 650, 127D515 = 59150, 1B11A15 = 88000

16

216 = 2, 316 = 3, 516 = 5, 616 = 6, 716 = 7, A16 = 10, B16 = 11, D16 = 13, E16 = 14, F16 = 15, 15E16 = 350, 37216 = 882, 111616 = 4374, 11D316 = 4563

17

217 = 2, 317 = 3, 517 = 5, 617 = 6, 717 = 7, A17 = 10, B17 = 11, D17 = 13, E17 = 14, F17 = 15, 1DA17 = 520, 2F717 = 840, 3B217 = 1056, 56D17 = 1560, D3E17 = 3822, 17B1D17 = 121121, 1FE1117 = 161280, 3A11117 = 300000

18

218 = 2, 318 = 3, 518 = 5, 618 = 6, 718 = 7, A18 = 10, B18 = 11, D18 = 13, E18 = 14, F18 = 15, H18 = 17, 1618 = 24, 1B618 = 528, B7618 = 3696, 1D5618 = 10140, 1H15DE18 = 3681860

19

219 = 2, 319 = 3, 519 = 5, 619 = 6, 719 = 7, A19 = 10, B19 = 11, D19 = 13, E19 = 14, F19 = 15, H19 = 17, 16519 = 480, 56119 = 1920, 6B119 = 2376, 75319 = 2625, 7H619 = 2856, B1319 = 3993, F1B19 = 5445, 1B16519 = 206250, 2571H19 = 297500, 351DE19 = 425880, 5711219 = 700000, D3E5119 = 1719900, HEDB11F19 = 836215380

20

220 = 2, 320 = 3, 520 = 5, 620 = 6, 720 = 7, A20 = 10, B20 = 11, D20 = 13, E20 = 14, F20 = 15, H20 = 17, J20 = 19, 1520 = 25, 71F20 = 2835, D3520 = 5265, 1B3E20 = 12474

 

A volte si trova indicata con lo stesso simbolo una funzione leggermente diversa: il prodotto dei primi che dividono n, ciascuno preso una sola volta col segno negativo, ovvero Formula per la definizione della funzione Π. Per esempio con questa definizione: Π(2) = –2 e Π(12) = –2 • –3 = 6.

Pertanto se p è primo, Π(p) = –p, Π(nk) = Π(n) e la funzione è moltiplicativa.

Vedi anche

Funzione π.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

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