Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

j(n) è la funzione di Jacobsthal, definita da E. Jacobsthal nel 1960 come la massima differenza tra due interi successivi primi rispetto agli interi da 2 a n o, se preferite, il minimo valore k tale che una sequenza di k interi deve contenerne almeno uno con un fattore in comune con gli interi da 1 a n.

 

Alcune proprietà della funzione:

j(n) = j(Π(n)), quindi per calcolare la funzione basta concentrasi sui valori per gli interi che sono il prodotto di primi distinti;

j(2kn) = 2j(n), per n dispari (Mario Ziller e John F. Morack, 2017);

j(n) ≤ 2ω(n) (H. Kanold, 1967);

j(n) ≤ 2ω(n)2 + 2elogω(n) (H. Stevens, 1977);

j(n) ≤ c(ω(n)log(ω(n)))2, per una costante c (Henryk Iwaniec, 1978);

j(n) ≤ 2eγω(n)5 + 5loglogω(n), per ω(n) > 120 (Fintan Costello e Paul Watts, 2013);

j(n) cresce meno di log2n (Henryk Iwaniec, 1978);

Limiti inferiore e superiore per la funzione j(n), per ω(n) = k, per tre costanti c1, c2 e c3 (R.A. Rankin, 1938);

Limite superiore per la funzione j(n) (H. Stevens, 1977);

Valore di j(n), per ω(n) = k (2012 L. Hajdu e N. Saradha, 2012).

 

Henryk Iwaniec dimostrò nel 1978 che una funzione analoga, definita come la massima differenza tra due successivi interi primi rispetto a n (ma non rispetto a numeri inferiori) cresce come log2n.

 

La tabella seguente mostra i valori di j(n), per n da 1 a 20.

n

j(n)

1

1

2

2

3

2

4

2

5

2

6

4

7

2

8

2

9

2

10

4

11

2

12

4

13

2

14

4

15

3

16

2

17

2

18

4

19

2

20

4

 

Dato che il valore della funzione dipende solo dai fattori primi distinti dell’argomento, particolare attenzione è stata dedicata ai valori di j(pn#). Alcuni risultati interessanti sono:

j(pn#) ≤ 2n (H.J. Kanold, 1967);

j(pn#) ≤ 2n2 + elogn (H. Stevens, 1977);

j(pn#) ≤ c(nlogn)2 (H. Iwaniec, 1971);

j(pn#) ≥ 2pn – 1 – 1 (Phil Carmody);

Limite inferiore per j(p(n)#), per una costante c (T.R. Hagedorn, 2009);

j(pn#) ≤ 0.27749612254n2logn, per 50 ≤ k ≤ 10000 (F. Costello e P. Watts, 2015).

 

La tabella seguente mostra i valori di j(pn#), per n da 1 a 57 (Max Alekseyev, Phil Carmody, Jud McCranie, Marty Weissman e Mario Ziller, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

pn

j(pn#)

1

2

2

2

3

4

3

5

6

4

7

10

5

11

14

6

13

22

7

17

26

8

19

34

9

23

40

10

29

46

11

31

58

12

37

66

13

41

74

14

43

90

15

47

100

16

53

106

17

59

118

18

61

132

19

67

152

20

71

174

21

73

190

22

79

200

23

83

216

24

89

234

25

97

258

26

101

264

27

103

282

28

107

300

29

109

312

30

113

330

31

127

354

32

131

378

33

137

388

34

139

414

35

149

432

36

151

450

37

157

476

38

163

492

39

167

510

40

173

538

41

179

550

42

181

574

43

191

600

44

193

616

45

197

642

46

199

660

47

211

686

48

223

718

49

227

742

50

229

762

51

233

798

52

239

810

53

241

834

54

251

858

55

257

876

56

263

908

57

269

926

 

Nel 1962 Jacobsthal avanzò la congettura che j(pn#) sia maggiore di j(k), se ω(k) ≤ n, ossia che j(pn#) sia il massimo valore della funzione tra gli argomenti con non più di n fattori primi distinti.

Nel 2012 L. Hajdu e N. Saradha dimostrarono che la congettura è vera per n ≤ 23, ma falsa per n = 24.

La tabella seguente mostra i valori di Massimo di j(n), per ω(n) = k, ossia i massimi valore della funzione tra tutti gli interi con k fattori primi distinti.

k

Massimo di j(n), per ω(n) = k

1

2

2

4

3

6

4

10

5

14

6

22

7

26

8

34

9

40

10

46

11

58

12

66

13

74

14

90

15

100

16

106

17

118

18

132

19

152

20

174

21

190

22

200

23

210

24

236

 

Vedi anche

ω.

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