Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Le funzioni P(mi)k(z) sono definite in modo analogo alle funzioni Pk(z), ma sommando sui reciproci dei numeri naturali non divisibili per quadrati appartenenti all’insieme Sk dei numeri con esattamente k fattori primi: Formula per la definizione di P(mi)k(z).

Queste funzioni possono essere calcolate a partire dai valori di P(s) tramite la formula Formula per la definizione di P(mi)k(s) (Richard J. Mathar, 2009); in particolare:

  • Formula per la definizione di P(mi)1(s);

  • Formula per la definizione di P(mi)2(s);

  • Formula per la definizione di P(mi)3(s);

  • Formula per la definizione di P(mi)4(s).

 

Alcune proprietà delle funzioni:

Somma per n da 0 a infinito di P(mi)2 * n + 1(2 * s) e in particolare Somma per n da 0 a infinito di P(mi)2 * n + 1(2).

 

La figura mostra una parte del grafico delle funzioni P(mi)k(x) per k da 1 a 5.

 

Grafico della funzione P(mi)k

 

 

Le tabelle seguenti riportano i valori approssimati della funzione P(mi)k(n) per n da 2 a 8 e k da 2 a 6 (Richard J. Mathar, 2009).

n

P(mi)2(n)

2

0.0637672945847765432801316294807193836128782162900370736592109

3

0.00673594662213544672456228258677680141934623660580421211246428

4

0.000933269102119509074753434906896208799524913336159126727476407

5

0.000142408850419374548659705490588033249391875510740905235597858

6

0.0000226806975268639528950901474490066255999464767652487721194642

7

0.00000368874503144697741103258077849260322707848294774819695331204

8

0.000000606493665920244704921794541628232570617319835668401899600473

n

P(mi)3(n)

2

–0.0036962441634528353783955346323946681155915397130304272497472

3

–0.000066148651246349939521729829639111115641021894727404106069829

4

–0.0000017271458093722304630212588271041732572671841808663978769400

5

–0.000000050940194598826356852005108113237778072664477868404106866961

6

–0.0000000015823229154549293389076239250147682789572853572784414723597

7

–0.000000000050453603114670647581939240532674248065812561949214992614300

8

–0.0000000000016329431236938215954403416483738501457291953254025603265554

n

P(mi)4(n)

2

0.000105117508492309807485233009466098526324680558243958672947068

3

0.000000214173193213549705893739943930728906255490278218470044772058

4

0.000000000729603168874401925790854604647164607340676506339572130564981

5

0.00000000000296196721173369084753821609237130107261806114215416577935264

6

0.0000000000000129842711892568424473824206373082938247800573758362639862211

7

0.0000000000000000591005736941452577777835874048660952776699696196276661514317

8

0.000000000000000000274348813375914336305677937087519697186480294957450635783864

n

P(mi)5(n)

2

–0.0000016620822035796812822471192427038246964759250664122544710020

3

–0.00000000026408478825460477590567284836043051634661147998573638254764

4

–0.000000000000076296745513152797837319954330917616771026320680788925154580

5

–0.000000000000000026674855904890302723828983961667330621935895399254169680514

6

–0.000000000000000000010124771878309455119843894285163727048400779511505829601925

7

–0.000000000000000000000040089171582464324580016512585964432909883144408807402330430

8

–0.000000000000000000000000016267872202198776712860024734866969196014335243663121425423

n

P(mi)6(n)

2

0.0000000161508116616705485066326829316589367443121196123113678467541

3

0.000000000000153530343588928080283456861104632555466175700586234793665716

4

0.00000000000000000299324100743804909283239785893475963049642868205678987129596

5

0.0000000000000000000000741916124138504344746395187399890095182210117294534971585873

6

0.00000000000000000000000000205602063767548079577453001329402669576701618478791822725187

7

0.0000000000000000000000000000000606313176438106233958227084211400755691448415132455986317069

8

0.00000000000000000000000000000000000185800289034470997723167773802340218486625624481826862206504

 

La tabella seguente riporta i valori approssimati di Somma sui numeri n con esattamente k fattori primi di μ(n) / (n * (n – 1)) per k da 1 a 25 (Richard J. Mathar, 2009).

k

Somma sui numeri n con esattamente k fattori primi di μ(n) / (n * (n – 1))

1

–0.77315666904979512786436745985594239561874133608318604831100606

2

0.071606015364062950689014905233278570032977577496764766996881566

3

–0.0037641725351677739987897144642934934884513171678284733095361749

4

0.000010533241426370309073189561057615806202677017536174797996070137

5

–0.0000016623463646913663848631359812999970758043030193325500480455497

6

0.000000016150965195007452635819510602638099761518437046602308615745291

7

–0.00000000010379657945831823210405127184359674418404044704893780297641014

8

0.00000000000046608164350339032665792725000352856059530910663817211356715781

9

–0.0000000000000015257916508734074179181916995271562612876849081982812066031366

10

0.0000000000000000037674605405462816954865036936087328930035659282686679768832686

11

–0.0000000000000000000072146307104358813058965067637397207142589348895613246863457289

12

0.000000000000000000000010966184934068789212128440266173951091947363648217302666195170

13

–0.000000000000000000000000013491272590180303187806861812072181049977941362569266836182658

14

0.000000000000000000000000000013659203913426921565993991785542457997100724146742659833750046

15

–0.000000000000000000000000000000011544550299305819020362074848337321347361648310620287413349137

16

0.0000000000000000000000000000000000082468163663946083189906712482357029072394743693281076128206927

17

–0.0000000000000000000000000000000000000050333187700965107357204271671076913932386822516030741929080100

18

0.0000000000000000000000000000000000000000026498528956530623344847668001272588778001122254618728853331610

19

–0.0000000000000000000000000000000000000000000012135579687796160737893591360857756602310726382140060310426006

20

0.00000000000000000000000000000000000000000000000048713430940243727394794760257290243400665149725603953693181101

21

–0.00000000000000000000000000000000000000000000000000017255587625660721457243893666076741199905259181309475423500537

22

0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000054270137257558710718858909894832920484581333704208745878297310

23

–0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000015238881562580861279422356191754120203296455021672076901780409

24

0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000038397551449809407896292097416496474894690864603905322011328373

25

–0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000087221420134797085669777164633365058358980257342379119911641791

 

Le tabelle seguenti riportano i valori approssimati di Somma sui numeri m con esattamente k fattori primi di μ(n) / (m^n * (m – 1)) per n da 2 a 6 e k da 2 a 5 (Richard J. Mathar, 2009).

n

Somma sui numeri m con esattamente 2 fattori primi di μ(n) / (m^n * (m – 1))

2

0.0078387207792864074088832757525591864200993612067276933376705990

3

0.0011027741571509606843209931657823850007531246009234812252063101

4

0.00016950505503145160956755825888617620122821126476435449772990259

5

0.000027096204612077060907852768298142951836335754023449262132044308

6

0.0000044155070852131080127626208491363262363892772582004900125801062

n

Somma sui numeri m con esattamente 3 fattori primi di μ(n) / (m^n * (m – 1))

2

–0.000067928371714938620394179831898825372859777454798046059788912729

3

–0.0000017797204685886808724500022597142572187555600706419537190829226

4

–0.000000052574659216450409428743432610083961488375889775555842142889903

5

–0.0000000016344646176240525767383244968461834157114119071517352759281108

6

–0.000000000052141702169123237830700571831415136754126549873293803568336271

n

 Somma sui numeri m con esattamente 4 fattori primi di μ(n) / (m^n * (m – 1))

2

0.00000021490577139328324666260111005953570208961711778930701363329944

3

0.00000000073257817973354076886116612880679583412683957083696886124052352

4

0.0000000000029750108591388430703115241596312267861630644973967306755420261

5

0.000000000000013043647405152222773308067259925713545003355242564896189378205

6

0.000000000000000059376215895380325925646622617419720223297866728632203157065385

n

Somma sui numeri m con esattamente 5 fattori primi di μ(n) / (m^n * (m – 1))

2

–0.00000000026416111168510261601673859617237932837795292029557704345022153

3

–0.000000000000076323430497840111065747811948812031341440309840660902575023325

4

–0.000000000000000026684984687313228427857617894414570413989159871977420443245736

5

–0.000000000000000000010128782422925704028633932747239792053264472723250762731720244

6

–0.0000000000000000000000040105446162489087900384620760650048636932117449331297950429083

 

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