Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Subbarao (congettura di) (II)

Congetture  Matematica combinatoria 

Estendendo un lavoro di O. Kolberg (1959), M.V. Subbarao avanzò nel 1966 la congettura che in ogni progressione aritmetica esistano infiniti termini n tali che p(n) sia pari e infiniti termini tali che p(n) sia dispari, dove p(n) è il numero di partizioni di n.

Lo stesso matematico dimostrò che la congettura è vera per la progressione n = 2k + 1.

 

Successivi lavori di M. Hirschhorn (1980 e 1993), M. Hirschhorn e M.V. Subbarao (1988), F. Garvan e D. Stanton (1990) dimostrarono che la congettura è vera per le progressioni n = ak + b, per ogni b e a = 1, 2, 3, 4, 5, 10, 12, 16 e 40.

 

Nel 1996 Ken Ono dimostrò che:

  • la congettura è vera per i numeri di partizioni pari;

  • se una progressione aritmetica contiene un termine n tale che p(n) sia dispari, ne contiene infiniti;

  • il minimo termine n di una progressione aritmetica ak + b tale che p(n) sia dispari, se esiste, è minore di Limite superiore per il minimo intero con numero di partizioni dispari, dove r è tale che 2^r > a / 24.

La dimostrazione di Ono fornì in teoria un metodo per verificare il caso dispari della congettura per una progressione qualsiasi: basta infatti esaminare tutti gli interi fino al limite indicato dal teorema, anche se tale limite cresce molto rapidamente al crescere di a, pur rimanendo minore di 1010a7. Utilizzando un potente calcolatore Ono verificò la validità della congettura per a ≤ 105.

 

J.R. Getz dimostrò nel 2000 che la congettura è vera per tutte le progressioni della forma n = pmk + b, con p primo maggiore di 3 e b multiplo di p.

 

M. Boylan e Ken Ono dimostrarono nel 2001 che la congettura è vera per tutte le progressioni della forma n = 2mk + b.

 

Hoberg, Tran e West dimostrarono nel 2010 che la congettura è vera per tutte le progressioni della forma n = a2mk + b, per a = 1, 5, 7, e 17.

 

Silviu Radu dimostrò che la congettura è vera per i numeri di partizioni dispari e che ogni progressione aritmetica contiene infiniti termini n tali che p(n) non sia multiplo di 3.

Radu dimostrò anche che per ogni primo p se a non è multiplo di 2, 3 o p, per ogni b la progressione n = ak + b contiene infiniti termini n tali che p(n) non sia multiplo di p.

 

La congettura non può essere estesa ai resti modulo primi maggiori di 3, perché nel 2000 Ken Ono dimostrò che per ogni primo p maggiore di 3 esistono infinite progressioni aritmetiche tali che per tutti i termini n p(n) sia multiplo di p.

Scott Ahlgren generalizzò questo risultato nel 2000, dimostrando che per ogni intero p non multiplo di 2 e 3 esistono infinite progressioni aritmetiche tali che per tutti i termini n p(n) sia multiplo di p.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.