Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Perfetti tozienti (numeri)

Teoria dei numeri 

Se si inizia da un numero naturale qualsiasi e si itera il calcolo della funzione φ, si arriva, dopo una sequenza più o meno lunga, a 1.

Per esempio, iniziando con 100 abbiamo: φ(100) = 40, φ(40) = 16, φ(16) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ(2) = 1.

I numeri perfetti tozienti sono i numeri naturali tali che la somma dei numeri che formano la catena suddetta sia uguale al numero stesso.

Per esempio, 39 è perfetto toziente, perché φ(39) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ(2) = 1 e 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 39.

 

I numeri perfetti tozienti minori di 1012 sono: 3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, 5571, 6561, 8751, 15723, 19683, 36759, 46791, 59049, 65535, 140103, 177147, 208191, 441027, 531441, 1594323, 4190263, 4782969, 9056583, 14348907, 43046721, 57395631, 129140163, 172186887, 236923383, 387420489, 918330183, 1162261467, 3486784401, 3932935775, 4294967295, 4764161215, 9158284383, 10460353203, 10774273279, 31381059609, 49202347615, 67220848639, 94143178827, 282429536481, 359790044575, 540941922367, 847288609443 (Jud McCranie e Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I numeri perfetti tozienti sono infiniti e tutti dispari; in particolare sappiamo che:

  • le potenze di 3 sono perfetti tozienti;

  • i prodotti dei primi n numeri primi di Fermat sono perfetti tozienti;

  • se p è un primo della forma 4 • 3n + 1, 3p, è perfetto toziente (T. Venkataraman, 1975); i valori di n validi noti sono 0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 885, 1005, 1254, 1635, 3306, 3522, 9602, 19785, 72698, 233583*, 328689*, 537918*, 887535*, 980925*, 1154598*, 1499606; se ve ne sono altri sono maggiori di 1500000 (Matthias Baur , Mohammed Bouayoun, Douglas Burke, Robert Price, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org);

  • se q = 253n + 1 e p = 2 • 32q + 1 sono primi, 32p è perfetto toziente (A.L. Mohan e D. Suryanarayana, 1981); l’unico valore di n valido noto è 1, dal quale si ricava il numero perfetto toziente 15723 = 3 • 1747; se ve ne sono altri sono maggiori di 10000 (M. Fiorentini, 2020);

  • se q = 243n + 1 e p = 22q + 1 sono primi, 33p è perfetto toziente (A.L. Mohan e D. Suryanarayana, 1981); i valori di n validi noti sono 3, 4 e 12, dai quali si ricavano i numeri perfetti tozienti 46791 = 331733, 140103 = 335189 e 918330183 = 3334012229; se ve ne sono altri sono maggiori di 10000 (M. Fiorentini, 2020);

  • se r = 243n + 1, q = 2 • 3r + 1 e p = 2 • 3q + 1 sono primi, 32p è perfetto toziente (Douglas E. Iannucci, Deng Moujie e Graeme L. Cohen, 2003); l’unico valore di n valido noto è 0, dal quale si ricava il numero perfetto toziente 5571 = 32619; se ve ne sono altri sono maggiori di 10000 (M. Fiorentini, 2020);

  • se = 2 • 3n + 1, q = 23r + 1 e p = 2q + 1 sono primi, 32p è perfetto toziente (Douglas E. Iannucci, Deng Moujie e Graeme L. Cohen, 2003); non si conosce però alcun valore di n valido; se esiste, è maggiore di 10000 (M. Fiorentini, 2020);

  • se = 22 • 3n + 1, q = 233r + 1 e p = 2q + 1 sono primi, 32p è perfetto toziente (Douglas E. Iannucci, Deng Moujie e Graeme L. Cohen, 2003); non si conosce però alcun valore di n valido; se esiste, è maggiore di 10000 (M. Fiorentini, 2020);

  • se q = 233n + 1 e p = 2q + 1 sono primi, 32p è perfetto toziente (Douglas E. Iannucci, Deng Moujie e Graeme L. Cohen, 2003); non si conosce però alcun valore di n valido; se esiste, è maggiore di 10000 (M. Fiorentini, 2020);

  • se r = 223n + 1, q = 24r + 1 e p = 22q + 1 sono primi, 33p è perfetto toziente (Douglas E. Iannucci, Deng Moujie e Graeme L. Cohen, 2003); non si conosce però alcun valore di n valido; se esiste, è maggiore di 10000 (M. Fiorentini, 2020);

  • se s = 253n + 1, r = 2 • 32s + 1, q = 243r + 1 e p = 22q + 1 sono primi, 33p è perfetto toziente (Douglas E. Iannucci, Deng Moujie e Graeme L. Cohen, 2003); l’unico valore di n valido noto è 1, dal quale si ricava il numero perfetto toziente 9056583 = 32335429; se ve ne sono altri sono maggiori di 10000 (M. Fiorentini, 2020).

 

Come conseguenza dei teoremi sopra esposti, si trovano vari numeri perfetti tozienti multipli di 3, però non se ne conosce nessuno della forma 3np, con p primo e n > 3; si sa che non ne esistono con p primo della forma 2m3kq + 1 e m > 0, con:

  • q primo della forma 2a3b + 1 (Douglas E. Iannucci, Deng Moujie e Graeme L. Cohen, 2003);

  • q primo della forma 2a3br + 1, r primo della forma 2c3ds + 1, s primo della forma 2e3fr + 1 con r primo e a, c ed e maggiori di 0 (Moujie Deng, 2009).

 

I numeri perfetti tozienti non multipli di 3 noti sono:

  • 4375 = 54 • 7,

  • 4190263 = 7 • 11 • 54419,

  • 3932935775 = 52 • 29 • 5424739,

  • 4764161215 = 5 • 11 • 86621113,

  • 10774273279 = 7 • 11 • 47 • 509 • 5849,

  • 49202347615 = 5 • 23 • 427846501,

  • 67220848639 = 7 • 17 • 23 • 73 • 401 • 839,

  • 359790044575 = 52 • 132 • 85157407,

  • 540941922367 = 7 • 11 • 19 • 369748409,

  • 1117594214815 = 5 • 13 • 17193757151,

  • 1177269848575 = 52 • 193 • 243993751.

 

Se 3p è un numero perfetto toziente e p è un primo della forma 4n + 1, anche n è un numero perfetto toziente e se 9p è un numero perfetto toziente, p è primo.

 

Se n è un numero perfetto toziente, φ(n) > n / 2.

Vedi anche

Funzione φ.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.