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Münchhausen (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “numeri di Münchhausen” i numeri naturali uguali alla somma delle cifre, ciascuna elevata alla potenza indicata dalla cifra stessa. In altri termini sono i numeri scritti come abc… uguali a aa + bb + cc + .... A parte il caso banale 1, gli unici esempi in base 10 sono 3435 = 33 + 44 + 33 + 55 e 438579088 = 44 + 33 + 88 + 55 + 77 + 99 + 00 + 88 + 88, con la convenzione che 00 = 0.

I numeri di Münchhausen costituiscono quindi una generalizzazione dei numeri di Armstrong e sono un caso particolare di numeri potenti (II), secondo la definizione allargata.

 

Devono il loro nome al fatto che, come il Barone di Münchhausen, cercano ad ogni costo di essere interessanti vantando proprietà astruse. Non condivido del tutto il nome, perché vi sono molte altre categorie di numeri con la stessa caratteristica.

 

La tabella seguente riporta i numeri di di Münchhausen inferiori a 109 nelle basi da 2 a 20, esclusi i casi banali 0 e 1, validi in tutte le basi (M. Fiorentini, 2015).

Base

Numeri di Münchhausen

2

-

3

123 = 5, 223 = 8

4

1304 = 28, 1314 = 29, 3134 = 55

5

1035 = 28, 20245 = 264

6

223526 = 3164, 234526 = 3416

7

134547 = 3665

8

4008 = 256, 4018 = 257

9

309 = 27, 319 = 28, 1562629 = 96446, 16470639 = 917139, 16565479 = 923362, 346640849 = 16871323

10

3435, 438579088

11

6650011 = 96437, 6650111 = 96438, 51750311 = 829821, 1845327811 = 34381388, 1845348711 = 34381640

12

-

13

3366013 = 93366, 3366113 = 93367

14

2314 = 31

15

-

16

-

17

3317 = 54

18

-

19

-

20

653420 = 50064

 

 

In qualsiasi base i numeri di Münchhausen sono in numero finito, come conseguenza del teorema di Schwartz (v. numeri di Armstrong). A parte i casi banali 0 e 1, in base 2 non ne esistono ed è possibile che non ne esistano in alcune altre basi; la minima base nella quale non se ne conoscano è 12.

Sono però infiniti considerando tutte le basi, perché ne esistono alcune famiglie infinite.

  • Se m divide nnn o se n è 0 o 1, mnb è un numero di Münchhausen in base b = m^(m – 1) + (n^n – n) / m (Mauro Fiorentini, 2019); in particolare:

    • n0b è un numero di Münchhausen in base b = nn – 1 per n > 1 (Enrico Munini, 2019); per esempio, 4064 = 256 è un numero di Münchhausen in base 44 – 1 = 64;

    • n1b è un numero di Münchhausen in base b = nn – 1 per n > 1; per esempio, 4164 = 257 è un numero di Münchhausen in base 44 – 1 = 64;

    • 1nb è un numero di Münchhausen in base b = nnn + 1 per n > 1; per esempio, 1325 = 28 è un numero di Münchhausen in base 33 – 3 + 1 = 25;

    • nnb è un numero di Münchhausen in base b = 2nn – 1 – 1 per n > 1 (Enrico Munini, 2019); per esempio, 3317 = 54 è un numero di Münchhausen in base 2 • 33 – 1 – 1 = 17;

    • (n – 1)nb è un numero di Münchhausen in base b = (n – 1)^(n – 2) + (n^n – n) / (n – 1) per n > 1; per esempio, 3493 = 54 è un numero di Münchhausen in base b = (4 – 1)^(4 – 2) + (4^4 – 4) / (4 – 1);

    • n(kn)b è un numero di Münchhausen in base b = nn – 1 + k(kn)kn – 1k; per esempio, 3615559 = 46683 è un numero di Münchhausen in base 33 – 1 + 2(6)6 – 1 – 2 = 15559.

  • Se nn – 1 è una potenza k-esima con k < n – 1, n(0)k (cioè n seguito da k zeri) e n(0)k – 11(cioè n seguito da k – 1 zeri e un 1) sono numeri di Münchhausen in base n^((n – 1) / k) (Mauro Fiorentini, 2019); per esempio, 4008 = 256 e 4018 = 257 sono numeri di Münchhausen in base 4^((4 – 1) / 2); in particolare:

    • (2k + 1)(0)k è un numero di Münchhausen in base (2k + 1)2 (Enrico Munini, 2019); per esempio, 50025 = 3125 è un numero di Münchhausen in base 52 = 25;

    • 22k00 è un numero di Münchhausen in base 2k(22k – 1) (Enrico Munini, 2019); per esempio, G001073741824 = 264 = 18446744073709551616 è un numero di Münchhausen in base 22(22 • 2 – 1).

 

Non si conoscono famiglie infinite di numeri di Münchhausen con 3 o più cifre diverse da 0 e 1.

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