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Fiorentini (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

Ho (ambiziosamente e immodestamente) tentato di dare il mio nome a una categoria di numeri che non sembra essere stata studiata in precedenza.

 

I numeri naturali uguali al prodotto delle loro cifre sono tutti e soli i numeri naturali di una cifra, quindi la proprietà non è interessante, ma che succede se moltiplichiamo potenze delle cifre?

Possono esistere numeri uguali al prodotto di una potenza (fissata) delle loro cifre?

Propongo di chiamare “numero di Fiorentini di ordine k in base b” un numero naturale n tale che il prodotto delle k-esime potenze delle sue cifre in base b sia uguale a n. Chiaramente n deve essere a sua volta una potenza k-esima.

Possiamo escludere i casi banali 0 e 1, che rientrerebbero nella categoria per qualsiasi ordine e base.

 

In base 2 non ne esistono, a parte i casi banali, perché il prodotto delle cifre è 0 o 1.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri di Fiorentini, escludendo i casi banali, fino a 1018, per gli ordini fino a 20, nelle basi fino a 20 (M. Fiorentini, 2019).

Base \ k

2

3

4

5

6

8

3

-

-

1213 = 16

-

-

-

4

-

-

-

-

-

-

5

2123234214413242315 = 1761205026816

-

3115 = 81

1125 = 32

-

-

6

136 = 9

126 = 8, 22126 = 512, 4114126 = 32768

-

-

-

-

7

227 = 16, 5232517 = 90000

-

-

-

1217 = 64

-

8

-

13318 = 729

-

-

-

-

9

-

-

-

-

-

-

10

-

-

-

-

-

-

11

37111 = 441, 11823911 = 186624

-

-

-

-

-

12

1412 = 16

-

-

-

-

-

13

-

-

-

-

-

-

14

14414 = 256, 19214 = 324

11614 = 216

1214 = 16

-

-

-

15

622615 = 20736

-

-

11315 = 243

-

12115 = 256

16

B7335116 = 12006225

-

-

-

-

-

17

152817 = 6400, 1CCE112423BF217 = 1019744590233600

-

-

-

-

-

18

-

-

-

-

-

-

19

-

-

-

-

-

-

20

1520 = 25, 193420 = 11664

-

-

-

-

-

 

Non esistono numeri di Fiorentini non banali non inferiori a 1018 per ordini uguali a 7 o maggiori di 8 in basi fino a 20.

 

I numeri di Fiorentini sono infiniti per qualsiasi ordine, perché:

  • n(mn)b = nb + mn è un numero di Fiorentini di ordine k in base b = mkn2k – 1m, tranne nel caso n = k = 2; per esempio, per m = 2, n = 5, k = 3 abbiamo b = 24998 e 5A24998 = 125000 = 503 è un numero di Fiorentini di ordine 3 in base 24998;

  • 1nmb = b2 + nb + m è un numero di Fiorentini di ordine 2 in base Formula per b per Formula per n per esempio, per m = 3 e r = 1 abbiamo b = 33 e n = 13 e 1D333 = 1521 =392 è un numero di Fiorentini di ordine 2 in base 33;

  • 1nmb = b2 + nb + m è un numero di Fiorentini di ordine 2 in base Formula per b per Formula per n; per esempio, per m = 2 e r = 1 abbiamo b = 89 e n = 57 e 1(57)233 = 12996 = 1142 è un numero di Fiorentini di ordine 2 in base 33;

  • per k pari, (n2)(2mn2)(m2n2)b è un numero di Fiorentini di ordine k in base Formula per b; per esempio, per k = 4, m = 2 e n = 3 abbiamo b = 45349630 e 9(36)(36)45349630 = 18509302102818816 = 116644 è un numero di Fiorentini di ordine 4 in base 45349630;

  • per k dispari, n(4m2n)(4m4n)b è un numero di Fiorentini di ordine k in base Formula per b; per esempio, per k = 3, m = 2 e n = 3 3(48)(192)2654200 = 21134460321792 = 276843 è un numero di Fiorentini di ordine 3 in base 2654200.

Dalle formule si ricava che alcune sequenze di cifre sono numeri di Fiorentini in più basi, rappresentando numeri diversi; per esempio:

  • 121b = 22k è un numero di Fiorentini di ordine 2k in base b = 2k – 1 per k > 1;

  • 144b = b2 + 4b + 4 è un numero di Fiorentini di ordine k in base b = 4k – 2.

 

Vi sono varie altre formule per trovare numeri di Fiorentini di forme particolari, che però non è stato dimostrato che possano produrne infiniti, oltre a quelli già elencati; per esempio nel caso di numeri di 3 cifre se Formula per b è un intero e r, s e t sono minori di b, rstb = (rst)k è un numero di Fiorentini di ordine k in base b; in particolare:

  • se 4nk – 4n + 1 è un quadrato, nk = 11nb è un numero di Fiorentini di ordine k in base Formula per b, per n > 1;

  • se 4nk + n2 – 4 è un quadrato, nk = 1n1b è un numero di Fiorentini di ordine k in base Formula per b, per n > 1;

  • se 4nk + 1 – 4n + 1 è un quadrato e sqrt(4 * n^(k + 1) – 4 * n + 1) – 1 è multiplo di n, nk = n11b è un numero di Fiorentini di ordine k in base Formula per b, per n > 1.

 

I numeri di Fiorentini ottenibili da queste formule per k fino a 20 e r, s e t fino a 1000, ad esclusione di quelli appartenenti alle famiglie infinite sopra elencate, sono mostrati nella tabella seguente; le cifre maggiori di 20 sono indicate tra parentesi (M. Fiorentini, 2019).

Numero di Fiorentini

Ordine

37111 = 441

2

21(30)42 = 3600

2

2(43)151 = 7396

2

84445 = 16384

2

2H492 = 18496

2

33I93 = 26244

2

31(55)95 = 27225

2

67468 = 28224

2

25I126 = 32400

2

22(84)237 = 112896

2

D57126 = 207025

2

5(94)1201 = 220900

2

23(94)398 = 318096

2

B2(27)179 = 352836

2

55(25)279 = 390625

2

(21)(34)1155 = 509796

2

51(187)418 = 874225

2

(52)1J137 = 976144

2

3B(35)665 = 1334025

2

1(593)2926 = 1406596

2

26(100)847 = 1440000

2

2(95)7917 = 1768900

2

2(194)41050 = 2408704

2

35(127)1099 = 3629025

2

I(107)1451 = 3709476

2

(40)E4354 = 5017600

2

5(116)41026 = 5382400

2

3(49)(22)1859 = 10458756

2

JEF915 = 15920100

2

2(132)G2954 = 17842176

2

F(51)91776 = 47403225

2

3(291)94488 = 61732449

2

(31)(32)91603 = 79709184

2

3(77)(43)5722 = 98664489

2

(136)(79)1921 = 115433536

2

3(206)J6745 = 137874564

2

3(328)D7331 = 163635264

2

88(208)4706 = 177209344

2

FA(95)3679 = 203062500

2

89(225)5727 = 262440000

2

5B(337)8288 = 343546225

2

2I(532)13538 = 366799104

2

(103)(99)22009 = 415915236

2

(23)(298)34281 = 422795844

2

5(203)(22)9966 = 498628900

2

(187)9E1723 = 555167844

2

(76)JJ3147 = 752734096

2

5(24)(256)13736 = 943718400

2

(23)(108)D6731 = 1042773264

2

2(29)(595)24395 = 1190940100

2

7(863)920488 = 2955988161

2

2(104)(294)43215 = 3739567104

2

2(215)(138)41906 = 3521235600

2

(112)D(45)6191 = 4292870400

2

5(89)(189)37604 = 7073651025

2

B(33)(253)27689 = 8434401921

2

(178)(41)E7658 = 10439117584

2

2(871)(84)103252 = 21411883584

2

B(64)(208)44148 = 21442330624

2

A(37)(433)50661 = 25667244100

2

3(386)(144)96210 = 27806229504

2

3(68)(928)109288 = 35839033344

2

H(61)(190)47785 = 38820820900

2

2(861)(124)150772 = 45594206784

2

3(160)(692)191746 = 110330265600

2

H(375)(67)103582 = 182435765625

2

E(25)(999)93447 = 122255122500

2

8(163)(303)139683 = 156113492544

2

3(259)(659)295585 = 262188033849

2

6(206)(476)240170 = 346139248896

2

B(155)(391)200997 = 444428889025

2

8(289)(289)236215 = 446448476224

2

2(434)(936)574379 = 660071752704

2

(68)(88)(256)185770 = 2346729865216

2

C(839)(173)502769 = 3033741831696

2

(71)(881)(37)274661 = 5356387185769

2

(391)(671)(240)3184359 = 3964797752889600

2

11614 = 216

3

1A127 = 1000

3

25262 = 8000

3

17K1653 = 2744000

3

12(504)32002 = 1024192512

3

22(508)64769 = 8390176768

3

14(539)100107 = 10021812416

3

1G(575)882425 = 778688000000

3

3115 = 81

4

J411325 = 33362176

4

3(607)11914416 = 10996127913681

4

1125 = 32

5

11315 = 243

5

11(30)4929 = 24300000

5

115279 = 78125

7

21145 = 4096

12

11290 = 8192

13

 

Fissata la base, è probabile che esista un limite superiore all’ordine, perché è plausibile che per k abbastanza grande tutte le potenze k-esime di numeri abbastanza grandi contengano uno zero (v. anche due).

Non è invece detto che i numeri di Fiorentini siano in numero finito per una base e un ordine fissati: sono noti, infatti, cubi arbitrariamente grandi privi di zeri (v. numeri di Baxter – Hickerson).

 

E’ anche possibile che in alcune basi non esistano del tutto numeri di Fiorentini; in particolare non se ne conoscono in base 9, 10, 18 e 19; se esistono sono maggiori di 1018.

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