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Bernoulli (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Bernoulli Bn(x), detti anche “polinomi di Bernoulli di prima specie”, furono originariamente definiti da Jakob Bernoulli nel 1713 in termini di somme di potenze di interi consecutivi: Formula per la somma di potenze di interi consecutivi. Sono quindi strettamente legati ai numeri di Bernoulli.

 

Il polinomio Bn(x) è un polinomio di grado n a coefficienti razionali, con coefficiente del monomio di grado massimo uguale a 1.

 

Alcune tra le numerose relazioni che legano questi polinomi tra loro e ai numeri di Bernoulli:

Bn(0) = Bn;

Bn(–x) = (–1)n(Bn(x) + nxn – 1);

Bn(1 – x) = (–1)nBn(x);

Bn(x + 1) – Bn(x) = nxn – 1;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli (Raabe 1851).

 

Altre formule che coinvolgono polinomi di Bernoulli:

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli, per 0 ≤ x ≤ 1, se n > 1 e per 0 < x < 1, se n = 1;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli, per 0 ≤ x ≤ 1, se n > 1 e per 0 < x < 1, se n = 1;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli, per 0 ≤ x ≤ 1, se n > 1 e per 0 < x < 1, se n = 1;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli, per 0 ≤ x ≤ 1, se n > 1 e per 0 < x < 1, se n = 1;

Formula per il calcolo di polinomi di Bernoulli, per 0 ≤ x ≤ 1, se n > 1 e per 0 < x < 1, se n = 1;

Formula per la somma di polinomi di Bernoulli;

Formula per la somma di polinomi di Bernoulli;

Formula che coinvolge polinomi di Bernoulli;

Formula che coinvolge polinomi di Bernoulli;

Formula per la derivata di polinomi di Bernoulli;

Formula per l'integrale di polinomi di Bernoulli e in particolare Formula per l'integrale di polinomi di Bernoulli; i polinomi di Bernoulli possono essere univocamente definiti tramite quest’ultima formula;

Formula per l'integrale del prodotto di polinomi di Bernoulli.

 

Congruenza che coinvolge i polinomi di Bernoulli, per p primo maggiore di 3 (Paulo Ribenboim).

 

Emma Lehmer dimostrò nel 1937 che se p è un primo dispari maggiore di n, valgono le congruenze:

  • Congruenza che coinvolge i polinomi di Bernoulli, per 2k – 2 non multiplo di p – 1;

  • Congruenza che coinvolge i polinomi di Bernoulli, per 2k – 2 non multiplo di p – 1;

  • Congruenza che coinvolge i polinomi di Bernoulli.

 

La funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei polinomi di Bernoulli, ovvero Formula per la funzione generatrice esponenziale dei polinomi di Bernoulli (Eulero, 1738).

 

B2n + 1(x) è divisibile per x2x – 1 solo per n = 5.

 

Alcuni valori particolari:

Bn(1) = (–1)nBn(0) = (–1)nBn;

Valore dei polinomi di Bernoulli per argomento uguale a 1/2;

Valore dei polinomi di Bernoulli per arg1omento uguale a 1/3, per n pari;

Valore dei polinomi di Bernoulli per argomento uguale a 1/4, per n pari;

Valore dei polinomi di Bernoulli per argomento uguale a 1/4, dove En indica l’n-esimo numero di Eulero, per n dispari;

Valore dei polinomi di Bernoulli per argomento uguale a 1/6, per n pari.

 

Se n è della forma 4k + 2, i valori massimo e minimo di Bn(x) tra 0 e 1 sono Valori estremi dei polinomi di Bernoulli tra 0 e 1, altrimenti nello stesso intervallo il massimo è minore di Limite superiore per il valore massimo dei polinomi di Bernoulli tra 0 e 1 e il minimo maggiore di Limite inferiore per il valore minimo dei polinomi di Bernoulli tra 0 e 1.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Bernoulli.

 

Grafico dei primi polinomi di Bernoulli

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Bernoulli.

n

Bn(x)

0

1

1

Polinomio di Bernoulli B1 

2

Polinomio di Bernoulli B2 

3

Polinomio di Bernoulli B3 

4

Polinomio di Bernoulli B4 

5

Polinomio di Bernoulli B5 

6

Polinomio di Bernoulli B6 

7

Polinomio di Bernoulli B7 

8

Polinomio di Bernoulli B8 

9

Polinomio di Bernoulli B9 

10

Polinomio di Bernoulli B10 

11

 Polinomio di Bernoulli B11

12

Polinomio di Bernoulli B12 

13

Polinomio di Bernoulli B13 

14

Polinomio di Bernoulli B14 

15

Polinomio di Bernoulli B15 

16

Polinomio di Bernoulli B16 

17

Polinomio di Bernoulli B17 

18

Polinomio di Bernoulli B18 

19

Polinomio di Bernoulli B19 

20

Polinomio di Bernoulli B20 

 

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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