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Toeplitz (congettura di)

Congetture  Geometria 

Otto Toeplitz (Breslau, Polonia, 1/8/1881 – Gerusalemme, 15/2/1940) propose nel 1911 la congettura che in ogni curva chiusa vi siano 4 punti che costituiscono i vertici di un quadrato.

Per la precisione Toeplitz propose l’affermazione come problema, più che come congettura, asserendo d’avere una dimostrazione per le curve che delimitano figure convesse, che però non fu mai pubblicata.

 

Il numero di quadrati con i vertici lungo una curva può essere infinito: alcune figure, come cerchi e quadrati, contengono i vertici di infiniti quadrati. Nel caso di altre curve il numero di quadrati è finito: un triangolo acutangolo contiene i vertici di tre quadrati, uno rettangolo di due e e uno ottusangolo di uno solo, come mostra la figura seguente.

 

I quadrati inscrivibili in un triangolo acutangolo, in uno rettangolo e in uno ottusangolo

 

 

Nel caso di curve che delimitano figure concave, il quadrato si estende all’esterno della figura, ma non ha importanza: il requisito è che i vertici si trovino sul perimetro.

 

La congettura è stata dimostrata in vari casi particolari.

  • nel 1914 Clarence M. Hebbert dimostrò che la congettura vale se la curva è un quadrilatero;

  • nel 1916 Arnold Emch dimostrò che la congettura è vera per curve costituite dalla combinazione di un numero finito di curve analitiche, ossia esprimibili con serie di potenze convergenti; in particolare quindi la congettura è vera per i poligoni e le ellissi;

  • nel 1921 Konrad Zingler dimostrò che la congettura è vera per le curve che delimitano figure convesse;

  • nel 1929 Lev G. Schnirelman dimostrò che la congettura è vera per le curve differenziabili due volte e alcune altre curve;

  • nel 1995 Mark J. Nielsen e Stephen E. Wright dimostrarono che la congettura è vera per le curve a simmetria centrale e per quelle simmetriche rispetto a una linea;

  • nel 1989 Walter Stromquist dimostrò che la congettura vale per le curve localmente monotone, ossia tali che per ogni punto esistono una direzione e un intorno del punto, tali che nessun segmento avente per estremi due punti dell’intorno sia parallelo alla direzione; come conseguenza la congettura è vera per tutte le curve che delimitano figure convesse e per quelle differenziabili una volta e prive di cuspidi;

  • nel 2011 Benjamin Matschke dimostrò che la congettura vale per le curve che possono essere iscritte in una corona circolare, col raggio esterno non maggiore di 1 + sqrt(2) volte il raggio interno e che circondano la circonferenza interna.

 

La congettura resta quindi aperta solo per curve piuttosto patologiche, che delimitano figure concave, non sono differenziabili 2 volte, né combinazione di un numero finito di curve analitiche, né localmente monotone.

 

E’ stato dimostrato che una curva chiusa contiene sempre i vertici di un triangolo simile a uno fissato e di un rettangolo (con rapporto tra i lati non fissato), mentre il fatto che contenga i vertici di un rettangolo con qualsiasi rapporto tra i lati è una congettura tuttora aperta.

 

Tra le congetture correlate a quella di Toeplitz vanno ricordate le seguenti:

  • ogni curva chiusa differenziabile infinite volte contiene i vertici di un quadrilatero simile a qualsiasi quadrilatero fissato avente i vertici su una circonferenza e con lo stesso orientamento;

  • ogni curva chiusa contiene i vertici di una figura simile a qualsiasi trapezio isoscele fissato;

 

La congettura non si può estendere a poligoni con più di 4 lati, perché esistono infinite curve, anche relativamente semplici come ellissi, che non contengono i vertici di un pentagono regolare.

 

La congettura non si può neppure estendere a più di 2 dimensioni, perché per n > 2 è stato dimostrato che un’ipersuperfice chiusa a n dimensioni non contiene necessariamente i vertici di un ipercubo a n dimensioni.

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