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Copertura di Radó (problema della)

Geometria  Problemi 

In una lettera a Wacław Sierpiński, Tibor Radó (Budapest, 2/6/1895 – New Smyrna Beach, USA, 29/12/1965) del 1928 osservò che se un insieme di intervalli copre un intervallo di lunghezza 1, se ne può estrarre un sottoinsieme di intervalli a due a due disgiunti di lunghezza complessiva almeno 1 / 2 e che tale valore non può essere aumentato.

Il matematico ungherese chiese se valesse qualcosa di analogo nel piano; vale a dire dato un insieme di quadrati con lati paralleli che copra un quadrato di area 1, se ne può sempre estrarre un sottoinsieme di quadrati a due a due disgiunti, con area totale almeno 1 / 4?

Radó dimostrò che l’area totale è almeno 1 / 9 e suppose che sia 1 / 4; A. Sokolin (1940), G. Norlander (1958) e V.A. Zalgaller (1960) indipendentemente dimostrarono vera la congettura nel caso di quadrati uguali.

L’area massima totale non può superare 1 / 4, perché se l’insieme è costituito da 4 quadrati di lato 1 / 2 con un vertice in comune, un sottoinsieme di quadrati a due a due disgiunti è formato da un solo quadrato. Analogamente si dimostra che in d dimensioni il limite non può superare 1 / 2^(d – 1).

Nel 1973 però Miklós Ajtai dimostrò che la congettura è falsa, costruendo un insieme di quadrati di due sole misure diverse che ricopre un quadrato unitario, ma tale che un sottoinsieme di quadrati a due a due disgiunti ha area totale massima uguale a 1 / 4 – 1 / 1728 = 431 / 1728.

 

Il problema è stato in seguito generalizzato a figure diverse dal quadrato, con copie di dimensioni diverse e traslate, ammettendo o meno rotazioni delle stesse.

 

Nel 1949 Richard Rado dimostrò che se le figure sono uguali e non ruotate, l’area totale massima è 1 / 6 per i triangoli e 1 / 4 per gli esagoni a simmetria centrale.

 

Nel 1960 V.A. Zalgaller dimostrò che se le figure non sono ruotate, l’area totale massima è almeno 1 / 8.6.

 

Nel 2008, Sergey Bereg, Adrian Dumitrescu e Minghui Jiang dimostrarono che:

  • ammettendo rotazioni, per ipercubi in d dimensioni l’ipervolume totale è almeno 1 / λ(d), dove λd è l’unica soluzione nell’intervallo [(5 / 2)^d .. 3^d] dell’equazione 3^d – (λ^(1 / d) – 2)^d / 2 = λ e vale non più di (3 – 1 / (d + 2 * 3^(d – 1)))^d; nel caso bidimensionale l’area totale è almeno 1 / λ(2) = 9 / (50 – 4 * sqrt(46));

  • nel piano il limite inferiore vale per qualsiasi figura convessa a simmetria centrale e può essere aumentato a 1 / 8.3539 per i cerchi e a 1 / 8.4797 per i quadrati;

  • nel piano per figure identiche e non ruotate l’area totale massima è 1 / 6, valore che non può essere aumentato in generale, perché corrisponde a quello dimostrato da Rado per i triangoli, e aalmeno 1 / 4.4810 per qualsiasi figura convessa a simmetria centrale;

  • nel caso dei quadrati l’area totale massima non supera 1 / 4 – 1 / 384 = 95 / 384.

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