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Copertura universale di Lebesgue (problema della)

Geometria  Problemi 

Nel 1914 Henri Léon Lebesgue (Beauvais, Francia, 28/6/1875 – Parigi, 26/7/1941) in una lettera a Gyula Pál (Györ, Ungheria, 27/6/1881 – Copenhagen, 6/9/1946) pose il problema di trovare la minima figura piana capace di ricoprire qualsiasi figura di diametro unitario (il diametro di una figura è la massima distanza tra due suoi punti).

 

Nel 1920 Pál pubblicò il problema, insieme con la sua dimostrazione che una figura che copra tutte le curve di ampiezza costante uguale a 1 copre qualsiasi figura di diametro 1.

Una curva di ampiezza costante è una curva chiusa convessa, tale che la distanza minima tra qualsiasi coppia di rette parallele che non la intersechino sia la stessa, indipendentemente dall’orientamento delle rette. Si dice “ampiezza” la distanza tra le rette (v. costante del Triangolo di Reuleaux).

Pál dimostrò che un esagono circoscritto a un cerchio di diametro 1, al quale siano stati tagliati due angoli, come mostra la figura seguente, può ricoprire qualsiasi figura di diametro unitario, avendo un’area uguale a 2 – 2 * sqrt(3) / 3.

 

Esagono con angoli tagliati di Pál

 

 

Pál dimostrò inoltre che l’area è almeno (π + 2 * sqrt(3)) / 8.

 

L’area è stata in seguito leggermente ridotta, con piccoli ritocchi alla figura:

  • nel 1936 Roland Percival Sprague (Unterliederbach, Germania, 11/7/1894 – 1/8/1967) dimostrò che è possible rimuovere una piccola area vicino a uno degli altri angoli, riducendo l’area della figura a meno di 0.844137708436;

  • nel 1992 H.C.Hansen dimostrò che è possibile rimuovere due piccole regioni dalla figura di Sprague, riducendo l’area a non più di 0.844137708398;

  • nel 2015 John Baez, Karine Bagdasaryan e Philip Gibbs dimostrarono che ritagliando con rette diverse gli angoli dalla figura di Pál, è possibile ridurre l’area a non più di 0.8441153;

  • nel 2018 Philip Gibbs ridusse l’area a circa 0.8440935944.

 

I lenti progressivi miglioramenti potrebbero far pensare che per l’area esista un estremo inferiore, ma non un minimo, ma nel 1979 Kelly e Weiss dimostrarono che esiste un’area minima nel caso di figure convesse, anche se la figura non è necessariamente unica, e nel 1985 Kovalev dimostrò che il minimo esiste anche considerando figure non convesse.

 

Anche il limite inferiore è stato leggermente migliorato:

  • nel 1994 György Elekes dimostrò che è almeno 0.8271;

  • nel 2005 Peter Brass e Mehrbod Sharifi dimostrarono che è almeno 0.8323, esaminando le possibili sovrapposizioni di un cerchio, un triangolo equilatero e un pentagono regolare, tutti di diametro 1.

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