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Ulam sull’impacchettamento (congettura di)

Congetture  Geometria 

La congettura di Ulam sull’impacchettamento afferma che il solido convesso che permette il peggior impacchettamento di copie didentiche, vale a dire che obbliga a lasciare più spazi vuoti, è la sfera.

La congettura di Keplero, dimostrata nel 1998 da Thomas Callister Hales, afferma che la densità massima ottenibile impacchettando sfere uguali è π / (3 * sqrt(2)) (v. costanti di Hermite); la congettura di Ulam afferma che questa è la peggior densità tra i solidi convessi, ossia che qualsiasi altro solido convesso permette densità superiori.

 

Stanisław Marcin Ulam (Lemberg, allora impero austro-ungarico, oggi Lvóv, Polonia, 13/4/1909 – Santa Fe, New Mexico, 13/5/1984) non propose mai esplicitamente la congettura; Martin Gardner la attribuì postuma (The New Mathematical Diversions, 1995), scrivendo che il matematico polacco nel 1972 gli aveva detto di sospettare che la sfera sia il solido peggiore; l’affermazione venne in seguito considerata una congettura.

 

Yoav Kallus dimostrò nel 2014 che la congettura è vera per i solidi a simmetria centrale.

 

La congettura non vale in due dimensioni: si possono impacchettare cerchi uguali con una densità massima pari a π / (2 * sqrt(3)) (v. costanti di Hermite), ma l’ottagono regolare ha una densità di impacchettamento massima pari a (12 – 4 * sqrt(2)) / 7, con la disposizione mostrata nella figura seguente.

 

Raffigurazione dell'impacchettamento di ottagoni regolari

 

 

Nel 1934 K. Reinhardt avanzò la congettura che la figura a simmetria centrale con il peggior impacchettamento massimo sia l’ottagono arrotondato, ottenuto partendo da un ottagono regolare e “arrotondando” gli spigoli con un piccolo arco di iperbole tangente ai due lati adiacenti.

 

Gli esperti ritengono che l’ettagono regolare abbia una densità massima di impacchettamento ancora minore, pari a (–712 * cos(π / 7)^2 + 984 * cos(π / 7) – 222) / 97, con la disposizione mostrata nella figura seguente; nel 2015 Yoav Kallus dimostrò che è la peggiore tra gli impacchettamenti regolari; nel 2015 Yoav Kallus dimostrò che è la peggiore tra gli impacchettamenti regolari.

 

Raffigurazione dell'impacchettamento di ettagoni regolari

 

 

Poco si sa sulla generalizzazione della congettura a dimensioni maggiori di 3, per le quali oltretutto non si conosce neppure con sicurezza la massima densità possibile degli impacchettamenti di ipersfere, tranne che in 8 e 24 dimensioni.

Yoav Kallus dimostrò nel 2014 che in 4, 5, 6, 7, 8 e 24 dimensioni esistono ipersolidi che ammettono impacchettamenti regolari con densità massima inferiore a quella delle ipersfere; è quindi possibile che la congettura sia vera solo in 3 dimensioni.

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